Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Однако в случае асимптотически плоского пространства-времени, отличного от пространства Минковского, ситуация значительно усложняется. Так, например, при наличии излучения на бесконечности не существует генераторов на У*, переводящих хорошие сечения в хорошие. Более того, само понятие хорошего сечения теряет смысл. Это связано с тем, что уходящее на бесконечность излучение асимптотически определяется функцией новостей Jf (иногда называемой функцией информации) Бонди—Сакса [14, 122], Ж = Эа°/Эа. Таким образом, даже если и имелось хорошее сечение на 7 + , то в этом случае оно перейдет в "плохое
169
Рис. 7.17. Хорошее (а) и плохое (2) сечение поверхности 7 +
сечение". В общем случае ситуация становится еще более неутешительной, потому что хорошие сечения могут отсутствовать вообще. Действительно, выбор сечений на 2/* определяется одним параметром и, тогда как сдвиг о0 — комплексная величина; следовательно, для обращения его в нуль требуется два действительных параметра. Для стационарных пространств это возможно [92], и в этом случае из группы ВМС каноническим образом выделяется подгруппа Пуанкаре как множество преобразований хороших сечений в хорошие.
Под действием супертрансляций f = f, и' = и + a (f, f) о0 переходит в асимптотический сдвиг о , связанный с новым сечением и' = const:
а'0 = а0 (17, S. {) - д2а , (7.36)
где
д2а: = (1 + Ш Э/Э? [ (1 + ШЭз/ЭЛ. (7.37)
Решение этого уравнения в случае а'0 = и0 = 0 дается формулой (7.35) и определяет четырехпараметрическое семейство изотропных поверхностей с равным нулю асимптотическим сдвигом о0. Пересечение этих поверхностей с J + дает хорошее сечение. Множество всех хороших сечений является 4-мерным многообразием и называется X -пространством1, точнее, стационарным Я * пространством.
Когда пространство-время не стационарно, хороших сечений, вообще говоря, нет. Ньюмен предложил дальнейшее обобщение стационарных ?-пространств, состоящее в том, Mjo запаздывающее время остановится комплексной переменной, a f и f считаются независимыми комплексными переменными, т.е. не являются комплексно сопряженными, тем самым осуществляется аналитическое продолжение J+ -* Все предыдущие рассуждения, относящиеся к построению группы БMC, остаются в силе с заменой соответствующих переменных комплексными. Вместо (7.36) имеется аналитическое продолжение этого уравнения, и можно поставить вопрос о его решении с а'0 = 0. Решение этого уравнения, если оно существует, определяет 4-мерное комплексное многообразие и описывает общий случай Ж -пространств. Различают левые X-пространства (соответствующие вакуумным решениям уравнения Эйнштейна с равной нулю
1 Термин Tt -пространство произошел от английского heavens — небеса. Это понятие впервые было введено Ньюменом, основные свойства и библиографию см. в {146, с. 1] .
170
автодуальной частью тензора Вейля) и правые Я -пространства, для которых равна нулю антиавтодуальная часть тензора Вейля. Возможно, с помощью X -пространств удастся выделить группу Пуанкаре (вообще говоря, комплексную) из обобщенной группы БМС.
Алгебра группы БМС. Тамбурино и Виникуром [131] было показано, что генераторы группы БМС удовлетворяют конформному уравнению Киллинга
*<а?/3) = 4x0' (7-38)
А
где предполагается, что ? касателен к J . В случае координат Бонди с метрикой д-ц из (7.28) это уравнение переписывается как v = X?,y. В координатах (и, г, в, у) его общее решение определяется вектором
I= (a (Xs) + -jufB^B , О, fA (Xfl)), (7.39)
причем
f*\\B = ;
индексы Ae В = 2,3 относятся к сферическим координатам, символом || обозначена ковариантная производная относительно 2-мерной метрики уAB на сФеРе S2 • Для анализа структуры инфинитезимальной группы БМС
функцию а 10, ^p) из (7J33) разлагают по сферическим гармоникам (для удобства переменные f, f заменены угловыми переменными 0, </>):
а = 2 I ZimYimIO.*). Zt_m -Z^. (7.40)
(1 = 0) (m = -D
Пусть х ^ = + ^Oa — бесконечно малые преобразования, генери-
руемые векторным полем Oa — параметры группы преобразований. Тогда генераторы группы преобразований определяются формулой
Эх" Э
= -W ¦ |7'4’’
Здесь индекс а пробегает значения 1, 2, . . . , п, где п — размерность группы.
Используя (7.41), определяем из (7.34), (7.40) генераторы супертрансляций
Pim = Pl-m' Рш, = °' M >i-
(7.42)
Обозначим шесть генераторов, определяющих инфинитезимальные преобразования S2 -+S2 и соответствующих инфинитезимальным вращениям
171
в плоскости (;/*, xv) пространства Минковского, Lfiv = -Lvfj. Так,
Li 2 = Ъ/ду; Z.03 = Sin^ * ЫЪ\р + ucosB *Ъ1Ъи.
Генераторы Lfiv вместе с P^m образуют базис алгебры группы БМС и удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям [122]:
^fiv' ^уд^ “ 7^jid Lvy + r^vy ^fJid ~ rIjiy L v8 ~~ r^vb Lfiy '0 j (7 43) [Lfivf а(в, *)ЫЪи] = ILfipB - аИ/ILfiv)) д/ди. J
Отсюда
LM^ = cNQM lN ' ^lQ' pD^ = c^QDpE' (7.44)
Здесь функции W(L) определяются из уравнения
д (Lfll/) /ди = Lfll^dfZdu + W bf/Ъи
с произвольной функцией f (и); индексы Qf Mf N относятся к генераторам вращений; Ef Ff D — к генераторам супертрансляций.