Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(е»а) = (0,-е*), (6.4:33>
где а = 1,2. Векторы поляризации выбираются ортогональными:
= 8абэ« = баР. (6.4.34}
Здесь еа — значок Эйзенхарта, (еа) = (1,-1,-1,--1). В свою очередь*
2 6авц,а^а = 6а0вцав^ = 8\м-> (6.4.35)
а
что следует из (6.4.34); в самом деле, умножая условие ортонормирован-пости на 6pvexv, получаем
еца (б tyevvetfgw — бя^) = 0, (6.4.36)
а из неравенства детерминанта нулю получаем отсюда (6.4.35). Выбирая правую тройку векторов, можно принять также равенство
е^еМыт = ^mhEhih (6.4.37)
хотя это и несущественно (например, может быть использована и круговая поляризация, приводящая к диагональности спина).
Так как эффективно = 0 и — 0 (метод Гупты — Блейлера) * то для реальных фотонов достаточно ограничиться разложением
^(q)= S -v (q)^ (q) (6.4.38>
а=І,2
и, ввиду (6.4-28), для реальных частиц можно записать
[ai+)(p), 4_)(q)]_= -6b“6(p-q). (6.4.39)
Однако практически полезнее помнить соотношения
[А^!(q), 4+)(р)]- = ець(р)Д(р — q) (6.4.40)
И
t4_)(q),4^+)(p)]_= -enh(p)6(p-q). (6.4.41)
1 Разложение по направлению четырех фиксированных векторов; нет необходимости в том, чтобы эга новые аа совпадали с введенными здесь ранее, так как расчеты, в которых предпринимается усреднение по поляризация^, чо^но проводить и без конкретизации направлений спина, ограничиваясь выделением поперечной части потенциала.
204
Кроме того, суммирование по поляризациям реальных фотонов, часто встречающееся в расчетах, может быть на основании (6.4.35) выражено как
2 Єу!>ЄчЬ = 6n*6vj 2 eibeib =
Ъ=1,2 5==1,2
a= I
(6.4.42)
Величины е^а можно рассматривать не только как векторы поляризации (частный случай тетрад), но и как коэффициенты преобразования от произвольной декартовой системы координат к декартовой же системе, -связанной с направлением импульса частицы. Тогда, обозначая
^1(P) = eh*(q)=-(i)k (6.4.43)
(вектор, общий для двух разных направлений импульса фотона) и вводя ©торой вектор поляризации как
Vh
Єі2( Р) = -Eiikij (6.4.44)
и
ег (q) = -Eiiftii -j^p (6.4.45)
или, в векторных обозначениях,
Є2 (P) =I Pl"1 [ip] (6.4.46)
e2(q)Hq|-i[iq], (6-4.47)
можно получить еще весьма полезную для практических расчетов информацию. Так, нетрудно заключить, что
(е1 (р) е1 (q)) = 1, (6.4.48)
(e2(p)e2(q)) = cos8 (6.4.49)
и
(Є1 (P) e^q) ) = 0. (6.4.50)
Кроме того, вектор і может быть выражен через р и q: i = |[pq]|-1[pq]} (6.4.51)
или
U = (ІРІ • Iqlsine)-1 BiihPjqh. (6.4.52)
Приведенные здесь соотношения дают возможность без особого труда получить равенство
1 Г cos 0
которое при р q переходит в (6.4.42). Кроме того,
(qe1 (р)) = 0, (6.4.54)
(qe2(p)) = I q I sin 0, (6.4.55)
(pe2 (q)) = — I p I sin 0. (6.4.56)
6.5. Квантование фермионного поля
Как мы видели при квадрировании уравнений фермионного поля в § 4.8, в приближенрш All = 0, Cll = 0'потенциал i|) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
? г?> — m2\f) = 0, (6.5.1)
так что и в этом случае при использовании фурье-представлений мы получим обычную релятивистскую связь между энергией, импульсом и массой покоя для реальных частиц; поэтому следует записать
^(Ж)= ~(2я)^' ^ (dQ)eiq^a^(Я2 —т2)^(Q)- (6.5.2>
При подстановке такого разложения в уравнение Дирака, взятое в том же приближении,
ц — тЩ = 0, (6.5.3)
мы получим
^ (dq)ei(ia,xaS(q2 — т2) (y^q^ -{- m)\J>(g) = 0, (6.5.4)
т. е.
(у^qlL + иіЖд) U2=m2 = 0. (6.5.5)
Ввиду того, что в лагранжиан и плотность энергии-импульса фермионного поля включается лишь первая степень от производных потенциала^ целесообразно определить его 3-мерный фурье-образ особым способом, а именно как
^(±)(q):---e_(g°)4>(=bg) I _ (6 5 6>
1 <j2=m2
Тот или иной выбор этого фурье-образа диктуется желанием получить должные значения коэффициентов в представлении динамических переменных через фурье-компоненты потенциалов полей. Итак, теперь
(Y^n =Ь т)\f>(±)(q)= 0 (6.5.7)
Ф(±) (*) = $ d3Q Sii3-1Vil (q). (6.5.8)
а также
^(±) ^= (2я)~*/а ^ d^q e±iq*X • (6.5.9)
Нет необходимости изобретать какой-либо новый способ рассмотрения фермионных полей в квантовой теории, так как все соотношения для спи-норных полей (кроме закона преобразования) сохраняют свою силу и для скалярного (зоммерфельдовского) представления фермионных полей. Ввиду этого мы воспользуемся известными разложениями фурье-образов потенциалов по базисным «спинорам» (теперь это — столбцы или строки, со-
206
и
стоящие из скаляров). Так как ^-функция содержит 4 компоненты, то существует 4 линейно независимых функции Vа, по которым и производится, разложение:
№ (q) = S 4а (q) • V^a (q), (6.5.10)
CF—I, 2
^(q)= 2 eaw*(q) • Pactiff(q). (6.5.11)
G=I, 2
Первое из этих выражений имеет форму столбца, а второе — строки. Так как они связаны друг с другом сопряжением и умножением на эрмитизи-рующую матрицу, то
*^(q) = («m(q))+ (6.5.12)
и
Vі** (q):=(i4+)a (q)) + Yba. (6.5.13)
В качестве эрмитизирующей матрицы мы взяли здесь матрицу Дирака у°7 совпадающую с использовавшейся нами прежде 0-компонентой вектор-матрицы у» в случае плоского мира и декартовой системы (в этом случае может быть произведено простое преобразование подобия, одинаковое во* всем мире, которое дает такое совпадение). Базисные 1X4 и 4ХІ-матрицы берутся ортонормированными, т. е. предполагается, что
