Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Между исходным тензором и дуальным ему существуют промежуточные градации. Так, можно определить непрерывный поворот дуальности,
e*a/Vv = F1W cos а +, * Fvlv sin а, (4.1.12)
оператор которого обладает хорошо знакомыми свойствами:
Є*«е*е === e*<«+»f (4.1.13)
так что
п
е* tF1IV=* (4.1.14)
e’o^v = Fvlv (4.1.15)
Ж
*е*а = е *т е*а = е * (°+ ”). (4.1.16
Для того чтобы разложить аксиально сопряженную напряженность электромагнитного поля в хронометрически инвариантном виде, запишем сначала
* F^P = г 8|AvXpF|xv (4.1.17)
2 І-g
и учтем, что существует простая связь между детерминантами 4-мерного ж 3-мерного метрических тензоров:
-g = b.g00. (4.1.18)
Поэтому можно записать, исходя из (5.1.9), что
Bi = -^r (4.1.19)
Igoo
или
т,. *Fio
Я* =-------—S-. (4.1.20)
ІSoo
Аналогично
Ei = —Em* FiK (4.1.21)
Для наглядности те же результаты можно представить в локально геодезической системе вблизи начала координат. Мы получйм тогда выражение
3-векторов E и В через Fliv и XFliv:
И2
{Е, В} е& {FM) *F^} s -L ет * Fih, -L RijhFih j
(4.1.22)
и обратное выражение тензоров Flix и HtFllv через 3-мерные векторы (также в локально геодезической системе):
И
Fvv
0 E1 E3 E3
-E1 0 - -B3 B2
-E2 B3 0 - -B1
-E3 - -B3 B1 0
0 B1 B2 B3
-Bx 0 -E3 E2
-B2 E3 0 -E1
-B3 -Ei E1 0
(4.1.23)
(4.1.24)
Для того чтобы перейти от этих выражений к противоположным по (вариантности, следует помнить, что в локально геодезической системе переход между противоположными вариантностями приводит к изменению знака компоненты на обратный, если операция касается нечетного числа индексов с пространственными значениями (1, 2, 3); в других случаях знак не меняется.
Трехмерные дифференциальные операции записываются в хронометрически инвариантном виде как
(4.1.25)
да> дф
(grad<p)* = —, (grad<p)’ = — ;
div А = ViAi;
(rot А )* = EijhVkAj, так что связь между напряженностями и потенциалами имеет вид
E == — grad ф + <рО;
UX
В = rot А + фо).
Свернутые комбинации Fviv и *FVII равны: инварианту
FwFliv = — * F^xFliv = 2 (В2 — E2),
инварианту
e^F^e-^Fw = 2(В2 — E2)
и псевдоскаляру
^vjFfiv = 4 (Е. В).
Тензор напряженности и все построенные с его помощью величины инвариантны относительно преобразования калибровки (градиентного преобразования)
- Ац -J- ^ ^, F ^v-+F ^IV, (4.1.30)
(4.1.26)
(4.1.27)
(4.1.28)
(4.1.29)
так что имеется некоторая свобода в выборе потенциала при заданном тензоре напряженности. Удобно (особенно в квантовой теории поля) воспользоваться условием Лоренца (калибровкой Лоренца):
Av-v = 0 или A^m, = А^ц = 0,
8 Н. В. Мицкевич
(4.1.31)
113
которая выделяет из всех спиновых состояний (0 и 1), соответствующих полю A ii, состояние со спином 1 в соответствии с градиентной инвариантностью теории.
Лагранжиан поля Максвелла проще всего записать в форме инварианта (4.1.27) (с точностью до множителя):
в 3-мерных обозначениях. Фок и Подольский, а также Ферми (см. Фок, 1957) предложили другие виды лагранжиана, облегчающие каноническое квантование электромагнитного поля (см., например, Вентцель, 1947). Лагранжиан такого рода равен (Фок, 1957):
Оба эти лаграняшана инвариантны по отношению к преобразованиям 4-мерных координат, но калибровочно неинвариантны.
Источники электромагнитного поля входят в лагранжиан взаимодействия этого поля и его источников: такой лагранжиан записывается в виде
— обычное определение тока, не зависящего, по предположению, от 4-потенциала. Этот лагранжиан не является калибровочно инвариантным, и его изменение при преобразованиях (4.1.30) должно компенсироваться изменеДеем лагранжиана заряженных частиц или комплексных полей, которого Uhi здесь пока не выписываем (см. § 4.4 и 4.5). Собственно, взаимодействие между заряженными полями и электромагнитным полем может быть получено так называемым «компенсационным» путем, когда калибровка поля зарядов полагается зависящей от мировой точки, в которой взят потенциал поля зарядов.
Итак, из введенных лагранжианов требуется получить соответствующие им уравнения, явно записав общее уравнение:
L<
'em —
* F»v * Fliv,
(4.1.32)
так что он равен
Lem = jY^E*-В*)
'em —
(4.1.33)
Lem = -I-LFwFvit-L-L (А*-,„)*
4 I
(4.1.34)
или (Швебер, 1963)
L1
'em —
2
(4.1.35)
Lint — (х,
(4.1.36)
так что SLint
(4.1.37)
(4.1.38)
Для этого заметим, что
(4.1.39)
114
и перейдем к первому лагранжиану (4.1.32), для которого
dhera = _ JhziFliV_ (4.1.40)
OFliv йл
Тогда
=_(у—= (4.1.41)
SAa \дАа$/,$
Перейдем в этом уравнении к потенциалам:
= ? A* + A^ — A1Rka = —/«, (4.1.42)
где даламбертиаи равен
DAa = —g»vAaw (4.1.43)
Лагранжиан (4.1.34) дает, в свою очередь, уравнения
[-FaP + = ja, (4.1.44)
а лагранжиан (4.1.35) —
D Aa = —ja. (4.1.45)
В уравнениях (4.1.44) можно отбросить дивергенцию 4-потенциала, если принять калибровку Лоренца (4.1.31); то же самое можно сделать и в (4.1.42). Однако, если учесть форму последних уравнений и не применять условия Лоренца, то можно без всяких ограничений, наложенных на калибровку, записать для лагранжиана (4.1.34):
