Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Эчевидно, что аналогично (6.92)
Sii = 0, (7.130)
ко все остальные свойства Sik и Iik совершенно различны. Наиболее важной іастью tik является относительный тензор напряжений Zixv, с помощью которого їо формулам (6.93), (6.95) выражаются все остальные компоненты tih, а также
4 Slk. Однако наиболее важной частью Sih является величина
Sk = -ICSik = Ui(Qk-QlUkJUi)Zi с = (S, 0), (7.131)
’де
s = y{Q-u(Q.u)/cs>. (7.132)
Здесь мы использовали (7.114) и (4.39).
В системе покоя S0 равен плотности потока тепла Q0:
S0 = Q0. (7.133)
Из (7,129) и (7.31) видно, что
Sik==Ui sk/yc\ (7.134)
Решая уравнение (7.31) относительно Qh, можно выразить Qk, а следова-
тельно, И Hjh Через Sfe.
В произвольной системе 5 3-вектор s является линейной функцией плотности потока тепла S0 в системе покоя S0. Поскольку Q? = 0, из (4.29) имеем Q = Q0 -f- u (Q0* и) (у — 1 )/и2, следовательно,
S== Y{s°—и(S0.и/с2) [у](у + 1)]} (7.135)
и мы видим, что при малых скоростях s отличается от s0 лишь величиной второго порядка малости по и/с.
Далее, вместо (6.91) в рассматриваемом случае из (7.117), (7.118), (7.124), (7.129) и (7.134) имеем:
Tih~TiAUklU4 = t IkjT sik = t IkjT Uі ShZyc2. (7.136)
Отсюда, учитывая (6.2), (6.3), (6.93), для і = р, k — v получаем
TVv = ^n Hv+ /nv + U11 SvZc2, (7.137)
а для і = 4, k = V
Sv = Huv -f- иц -у- Sv, (7,138)
что является обобщением формул (6.60) и (6.65) для систем с теплопроводностью.
Плотность потока энергии
S = /m + u-t + s (7.139)
отличается от соответствующей величины (6.65) для чисто механической системы 3-вектором s, который поэтому следует интерпретировать как плотность
потока тепла в обобщенной системе S. Эта интерпретация соответствует требо-
ванию, сформулированному на стр. 138, поскольку при малой и вектор s равен нерелятивистскому потоку тепла S0 с точностью до малых второго порядка. Плотность импульса равна
g=S/c2 = uu + u.t/c2 + s/c2. (7.140)
Последняя величина в правой части (7.140) представляет собой импульс потока тепла.
По аналогии с (6.102) рассмотрим теперь 4-вектор HikdFk, где dFt — 4-вектор (6.101). Обозначая HihdFk через dQt (n)ldx и учитывая (6.101), получаем
dQJdx = Hih dFk = 7 (Hiv + iHti uvfc) dfv = у (.Hiv -Hii UvJUi) dfv
или в соответствии с (7.129), (7.134):
dQi/dx = Hik dFh = уsiv dfv = Ui (sv dfv)Zc2 = U1 (sdf)fc2. (7.141)
Поскольку HihdFk и Ui — 4-векторы, sdf— инвариант, т. e.
scif = sW. (7.142)
Это соотношение непосредственно следует из формул преобразования (7.135) н (и) на стр. 91, для s и df соответственно.
Рассмотрим снова частицу материи, которая в момент времени t имеет объем V (/), ограниченный замкнутой поверхностью / (/). Ее 4-импульс (6.98) равен
Giit)= I gidV = (l/lc)lTiidV = (G, і Я/с). (7.143)
V( і) V
164
Поскольку поверхность / движется вместе с материей,
dGildt = \(dTiildxi)dV—(Uic)^T и uv nv df, (7.144)
і/ f
где п — внутренняя нормаль к поверхности /. Когда система замкнута, законы сохранения имеют форму (6.1), следовательно,
BTiJdxi=—dTtv/dxv. (7.145)
Подставляя (7.145) в первый интеграл (7.144) и используя теорему Гаусса, получаем
dGjdt = § (Tiv-Tii«v/і с) nvdf= (Tlv-TiiUJUi) dfv f
или, учитывая (7.136),
dGijdl = § dfx-\- ^Sivdfv. (7.146)
f f
В соответствии с (6.100) и (7.134) четыре уравнения (7.146) можно записать
в виде
dGjdt = ^ dt (n) -f- § u (s-df)/c2; f
dHjdt = ^ u dt (n) -j- § sdf.
і f
Первый интеграл в правой части (7.147) представляет собой полную механическую поверхностную силу, с которой наружная материя действует на материю внутри / (t) (для систем без сдвига сила dt (n) = pndf равна нормальному давлению; но для вязкой жидкости эта сила кроме давления включает в себя и силу вязкости); udt (п) — мощность этой силы, так что первый член
в (7.148) представляет собой полную работу, совершенную механической по-
верхностной силой за единицу времени t. Следовательно, второй интеграл в (7.148) следует интерпретировать как полную тепловую энергию, втекающую в систему за единицу времени. (Это соответствует нашей интерпретации s в (7.139) как потока тепловой энергии.) Тогда sdf — количество тепловой энергии, протекающей через элемент df в направлении п. Аналогично второй интеграл в (7.147) представляет собой поток теплового импульса в систему. Тогда тепловая энергия dQ (п), проходящая через df в течение времени dt, равна
dQ (n) = sdidt — (s° df°) ydx, (7.149)
[Здесь мы использовали (7.147), a dx = dtly — собственное время материи в рассматриваемой точке.] Формулу (7.149) можно представить в виде
dQ(n)-YdQ°(n°), (7.150)
где
dQ° (n0) = s«df° dx (7.151)
— соответствующая тепловая энергия в системе покоя. Это тепло обладает импульсом dP (и), который в соответствии с (7.147) равен
dP (n) = u (sdf) dtIc2 = UdQ (n)!с2= yudQ0 (п°)/с2. (7.152)
Таким образом, приток тепловой энергии и импульса к телу через поверхность df дает такой же эффект, как если бы к этому телу прибавилась частица с собственной массой dQ° (п°)/с'2 и скоростью и. 4-Импульс подведенного тепла равен
