Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Иначе говоря, изменение кинетической энергии в единицу времени равно работе силы.
55
С помощью (3.23) и (3.24) правую часть уравнения (3.26) запишем в виде
Подставляя (3.27) в правую часть уравнения (3.26) и интегрируя его, найдем кинетическую энергию частицы в явном виде:
где С — постоянная интегрирования.
Предполагая, что при и = 0 кинетическая энергия равна нулю, имеем
Когда скорость частицы и мала по сравнению с с, выражение (3.29) можно разложить в ряд по малому параметру (и/с)2 и в первом приближении получить ньютоновское выражение для кинетической энергии
Аналогичным образом все величины релятивистской механики и соотношения между ними при скоростях, малых по сравнению со скоростью света, совпадают с соответствующими величинами и соотношениями между ними ньютоновской механики. Интересно отметить, что все отклонения релятивистской механики от механики Ньютона по крайней мере второго порядка по и!с. Вот почему первоначальная электронная теория, базирующаяся на механике Ньютона, могла объяснить все эффекты первого порядка. Когда скорость и имеет величину порядка с, различие между релятивистской и ньютоновской механиками становится значительным. При и ->¦ с масса (3.22) и кинетическая энергия (3.29) становятся бесконечно большими, поэтому в релятивистской механике скорость света является предельной скоростью.
Рассмотрим снова две ннерциальные системы SnS', соответствующие специальным преобразованиям Лоренца (2.24). В обеих системах импульс и кинетическая энергия частицы задаются формулами вида (3.23) и (3.29). Уравнения для преобразований импульса и кинетической энергии получим с помощью преобразований (2.45) скорости частицы.
Введем дополнительно величииу Е, определяемую соотношением
Поскольку E отличается от кинетической энергии лишь на постоянную величину т0с2, ее также можно рассматривать как меру кинетической энергии частицы. Эту величину часто называют просто энергией свободной частицы, пренебрегая при этом на время физическим смыслом постоянной добавки т0с2. Аналогичная величина E' = Т’ + т0с2 вводится и в системе S'.
cJ(l — Ui ,/с-) 3^i dt
или, учитывая, что и ¦ du/dt — и • du/dt, получаем
(3.27)
T ~ та C1IYI — UiIc2 + С,
(3.28)
С — — т0с2,
откуда
"I/ I-U2Ici
т0с2.
(3.29)
T - (1/2) т0и2.
(3.30)
§ 3.3. Преобразование силы, импульса и энергии
тс2.
(3.3 Г)
56
С помощью (3.23), (3.31) и соотношений, обратных (2.45) и (2.48), получим:
/V
т0 Ux
10([+vu'xl'c-)
Vl — U-Jc2 Y(l — ViJc2) (l —UriIei)
mV (uX+v)
I +VUrxJci
т, е.
Y{]~V2Je2) ([-Ur2Ic2) Px-YvEr Jc2
Px
YI —ViJct Аналогичным образом найдем, что
Pa = Py* Pz=zPz', E
E' +vp'
(3.32а)
(3.326)
(1— V2Jei)112
Сравнивая уравнения (3.32) с преобразованиями Лоренца (2.24), видим, что четыре величины
рх, pv, pz, Elc2
(3.33)
преобразуются подобно пространственно-временным координатам х, у, z, t. Поэтому по аналогии с уравнениями (2.15), (2.13) и (2.13') имеем
P2-E2Jc2 = Pli-E'*/с2. (3.34)
В соответствии с (3.23) и (3.31) инвариант (3.34) имеет постоянное значение — Отое2. В любой инерциальной системе
P2—E2Jc2 = — тI с2,
т. е.
Е — с (т2 с3 +р2)1^2. (3.35)
Отсюда скорость частицы
и = PC2IE — dE/dp. (3.36)
Поскольку величины (3.33) преобразуются как координаты (х, у, z, і) при вращениях декартовых осей, формулы преобразования для импульса и энергии в случае общих преобразований Лоренца (2.25') можно записать в векторной форме
P = P
V (v^pr) {l — (I—V2IC2)1!2) +E' V2Jc2 ~|/(I-ViIC1)
Р_ E'+(v.p')
1/(1 — V2Je1)
(3.37)
Теперь легко видеть, что (3.34), которое аналогично (2.30), является следствием (3.37).
Рассмотрим систему из п свободных частиц. Если импульс и энергию i-й частицы обозначить р(,) и E(i) = Tli) + m</> с2 соответственно, где
— кинетическая энергия, а —- масса покоя t-й частицы, то полный
импульс и энергия системы определяются выражениями
E= 2 EW = T + m0c*\
г=1 i=i
T = ? TU);
1=1
(3.38)
57
Поскольку преобразования (3.32) или (3.37) линейны и справедливы для каждой частицы, аналогичные преобразования справедливы и для полной энергни и импульса системы. Таким образом, уравнения (3.32) и (3.37) можно использовать и для системы свободных частиц, где р, E и T обозначают полный импульс її энергию системы, а т0, согласно (3.38), есть сумма собственных масс частиц. Из этих же уравнений следует, что если теорема о сохранении количества движения при столкновении между частицами справедлива в каждой инерциальной системе, то полная энергия E также сохраняется в любой инерциальной системе.
Возвращаясь к системе из одной частицы с постоянной массой покоя, уравнения (3.24) и (3.26) записываем в форме
dp/dt = F; (3.39а)
dE Idl = (F-U). (3.396)
Поскольку уравнения (3.39) выполняются в любой инерциальной системе, закон преобразования для силы F можно получить из известных преобразований для величин в левых частях (3.39). Из уравнений (2.25)' н (2.26) имеем
