Простые опыты с ультразвуком - Майер В.В.
Скачать (прямая ссылка):
а = /г12р. (43)
Из рис. 69 видно, что |3 + у = а, следовательно, формулу (43) можно
переписать в виде
а = п12(а - у). (44)
При малых углах, очевидно, a =h/R и -у = hjF. Подставляя эти значения а и
у в формулу (44), получим
Рис. 69. К выводу формулы для фокусного расстояния ультразвуковой линзы.
Буквой R обозначены центр кривизны и радиус сферической поверхности,
буквой F - фокус и фокусное расстояние линзы.
115
Отсюда искомое фокусное расстояние F ультразвуковой линзы равно
р -_____-----=-------____ /45)
г 1 -1/",2 I - с2/с, ' ^
Исследуем полученную формулу. Если скорость звука в материале линзы
больше, чем в окружающей линзу среде (ci > с2), то F > 0, т. е. линза
имеет действительный фокус и является собирающей. При Ci < с2 фокусное
расстояние F С 0; линза имеет мнимый фокус и является рассеивающей.
В оптике, да и в повседневной жизни, вы привыкли к тому, что плоско-
вогнутая линза всегда ведет себя как рассеивающая. Слово "всегда" в этом
утверждении совершенно неуместно. Одна и та же линза может
Рис. 70. К
быть как собирающей, так и рассеивающей в зависимости от того, в какой
среде и для каких волн она используется. Например, ниже будет описана
линза из оргстекла, которая является собирающей для распространяющихся в
воде ультразвуковых волн и рассеивающей для распространяющихся в воде или
воздухе световых волн. Общность и различие физических свойств волн разной
природы выступают в этом примере с особенной отчетливостью.
Если бы все лучи, как мы предположили, действительно собирались в фокусе
линзы, то интенсивность ультразвука в фокусе была бы бесконечно велика.
Этого, разумеется, не может быть. И действительно, дифракция ультразвука
на диафрагме линзы (отверстии, ограничивающем размеры линзы) приводит к
тому, что какой бы геометрически совершенной ни
расчету увеличения интенсивности ультразвука в фокусе линзы.
116
была линза, фокусом ее является не точка, а определенная область конечных
размеров. Распределение интенсивности ультразвука в фокальной плоскости
линзы показано на рис. 70. Оно состоит из центральной круговой области
максимальной интенсивности, окруженной концентрическими круговыми зонами
чередующейся минимальной и максимальной интенсивности ультразвука.
Из дифракционной теории известно, что практически вся энергия (а точнее,
84%) прошедшей через линзу волны сосредоточена в центральном максимуме
интенсивности дифракционной картины, расположенной в фокальной плоскости
линзы. Пренебрегая потерями на отражение и поглощение ультразвука в
линзе, можно считать, что средняя интенсивность ультразвуковой волны в
фокусе линзы во столько раз больше интенсивности падающей на линзу волны,
во сколько раз площадь неэкранированной части линзы больше площади
центрального максимума дифракционной картины.
Площадь неэкранированной части линзы 5л=лг2, а площадь центрального
максимума дифракционного распределения интенсивности в фокальной
плоскости 5ф=лг^ (см. рис. 70). Следовательно, интенсивность
ультразвуковой волны в фокусе линзы ¦
/ф = Лгад (г/г0)2, (46)
где /Пад - интенсивность падающей на линзу волны.
Согласно дифракционной теории направление на первый минимум интенсивности
определяется формулой
sin<p = 0,61Vr. (47)
где А,- длина ультразвуковой волны. При малых углах ф (что всегда
наблюдается при г, достаточно больших по сравнению с X), значение синуса
угла можно заменить самим углом. Из рис. 70 следует, что ф = t'o/F\
подставляя это значение в формулу (47), получим
r0/F = 0,61 %/г.
117
Выразив отсюда г0 и подставив его в (46), будем иметь
/ф = /пад ( 0,61 Я/7 ) = 2,68 ~FW ^пад*
Вспоминая, что в центральном дифракционном максимуме интенсивности
сосредоточено лишь 84% падающей на линзу энергии (остальная распределена
между дифракционными кольцами), окончательно получаем выражение для
средней интенсивности ультразвука в фокусе линзы
/ф - 2,25 /пад- (48)
Мы не напрасно вывели эту формулу: физически она гораздо содержательнее
формулы для фокусного расстояния линзы (45). Действительно, пользуясь
формулой (45), можно было бы подумать, что для фокусировки ультразвука
достаточно сделать линзу из подходящего материала и разместить ее в
подходящей среде. Однако формула (48) показывает, что этого далеко не
достаточно: необходимо еще, чтобы площадь линзы (квадрат радиуса г) была
велика по сравнению с произведением длины ультразвуковой волны на
фокусное расстояние линзы. Иными словами, линза будет фокусировать
ультразвук тогда, когда можно считать, что дифракция ультразвуковой волны
на линзе пренебрежимо мала.
Не правда ли, любопытная ситуация! Считая, что линза фокусирует
ультразвук, мы должны пренебречь дифракцией, но до конца этого делать
нельзя: полностью пренебрегая дифракцией, мы получили бы бесконечно
большую интенсивность ультразвука в фокусе линзы. Таким образом, в
формуле (48) можно усмотреть границу между геометрической и волновой (или
дифракционной) теорией создания изображения линзой.
