Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
отсутствует: частица может занять некоторое состояние независимо от того,
занято ли оно другими частицами или свободно. Ясно, что если
"конкуренция" в статистике Ферми - Дирака несу-
200 3. Электронный и фотонный газы
Модели Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака. Модели, в которых частицы
рассматриваются как неразличимые, называются моделями Бозе - Эйнштейна и
Ферми - Дирака.
Между собой эти модели различаются по поведению частиц в отношении
микросостояний. Если в данном состоянии может находиться не более одной
частицы, то такая модель называется моделью Ферми - Дирака, а если может
находиться сколь угодно много частиц, то моделью Бозе - Эйнштейна.
Подчеркнем, что состояние характеризуется не только своей энергией, но и
другими параметрами. Например, состояния с одинаковой энергией, но
отличающиеся направлением импульса частицы, являются разными. Поэтому
более точная формулировка гласит: в модели Бозе - Эйнштейна в каждом
квантовом состоянии может находиться любое число частиц, а в модели Ферми
- Дирака - не больше одной.
Статистическая теория, основанная на модели Бозе - Эйнштейна, называется
статистикой Бозе - Эйнштейна.
Статистическая теория, основанная на модели Ферми - Дирака, называется
статистикой Ферми - Дирака.
Формулы статистики Максвелла - Больцмана как предельный случай формул
статистик Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака. Реальные частицы являются
неразличимыми, и поэтому они не соответствуют модели Максвелла -
Больцмана, они подчиняются либо статистике Бозе - Эйнштейна, либо
статистике Ферми - Дирака. Как было показано В. Паули, частицы с целым
спином подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, а с полуцелым -
статистике Ферми - Дирака. Нет частиц, подчиняющихся статистике Максвелла
- Больцмана, и тем не менее она правильно описывает поведение частиц в
очень большом числе практически важных случаев, с которыми наиболее часто
приходится встречаться. Это обусловлено тем, что формулы статистик Бозе -
Эйнштейна и Ферми - Дирака переходят в формулы статистики Максвелла -
Больцмана, когда число доступных для частиц состояний значительно больше,
чем число частиц, которые могли бы занять эти состояния, или, другими
словами, когда среднее число частиц, приходящихся на одно состояние,
мало.
В практике наиболее часто встречается именно такая ситуация.
Особо отметим, что в предельном случае речь идет о совпадении формул, а
отнюдь не о том, что изменяется поведение частиц.
Частицы с полуцелым спином всегда подчиняются статистике Ферми - Дирака,
а с целым - Бозе - Эйнштейна.
# щественна, то ее результаты должны быть близки к результатам статистики
Бозе - Эйнштейна; "Конкуренция" между частицами при занятии состояния
несущественна, если число частиц, претендующих на это, мало, т. е. если
мало среднее число частиц, приходящихся на одно состояние. В этом случае
распределения Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна совпадают и сводятся к
распределению Максвелла- Больцмана.
§ 25. Распределение Ферми - Дирака 201
§ 25 Распределение Ферми - Дирака
Распределение Ферми - Дирака выводится комбинаторными методами прямым
подсчетом числа состояний при фиксированном числе частиц и полной
энергии. Анализируется предельный переход к распределению Гиббса.
Подсчет числа состояний. Квантовые состояния частицы характеризуются
дискретным набором возможных энергий - энергетическими уровнями. Каждый
энергетический уровень включает в себя ряд состояний, одинаковых по
энергии, но различных по некоторым другим характеристикам. Задача состоит
в определении различных способов занятия частицами доступных для них
состояний в соответствии с предписанными им моделью "правилами
поведения".
Для наглядности представим различные энергетические уровни в виде больших
ящиков, а различные состояния в пределах одной и той же энергии - в виде
маленьких ящиков внутри больших (рис. 53). Число больших ящиков равно
числу уровней энергии, а число маленьких ящиков в большом i-м ящике равно
gt. Число маленьких ящиков в различных больших ящиках, вообще говоря,
различно. В этой модели частицы представляются шарами, которые необходимо
размещать по малым ящикам, причем в модели Бозе - Эйнштейна в каждый
маленький ящик можно поместить любое число шаров, а в модели Ферми -
Дирака - максимум один шар. Шары между собой неразличимы. Обозначим число
шаров п и проведем расчет числа возможных размещений шаров для модели
Ферми - Дирака.
В каждом из больших ящиков может находиться щ частиц, причем щ ^ ^ д{.
Полное число частиц во всех ящиках равно п = ? щ. Прежде всего найдем
число способов, сколькими щ не различимых между собой предметов могут
быть размещены по gt местам. Эта задача была уже решена и ответ дается
формулой (5.4), которая для рассматриваемых величин принимает вид
Г 1 = ^!/[",!(0г-",)!]• (25.1)
В каждом из больших ящиков микросостояния независимы, и не играет роли,
какие из п частиц находятся в каком-то ящике. Поэтому полное число
состояний в совокупности всех больших ящиков равно произведению числа
