Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(46.57) и (46.58) может быть записано в виде
? = <г> р, (46.59)
где учтено наличие нескольких поляризаций фононов и взята их средняя
скорость в соответствии с (46.50).
Плотность се>стояний газа, состоящего из фононов как квазичастиц, дается
формулой (8.4) в виде
dr = р (с) d? = 3 К4тф2 бр/(2тсЛ)3. (46.60)
Множитель 3 учитывает три возможных поляризации фононов. Принимая во
внимание (46.58), из (46.60) получаем
p<?>=(WWe2- <4Ш>
Для дальнейших вычислений удобно выразить р(е) не через среднюю скорость
<г> звука, а через температуру Дебая, воспользовавшись условием, что
общее число фононов должно быть равно fc(c)D
ЗЛГА= J p(s)d?. (46.62)
о
Тогда
р(?) = 9ЛГд?2/(Шп)3. (46.63)
Фононы являются частицами, подчиняющимися статистике Бозе - Эйнштейна, и
поэтому среднее число <п> фононов с энергией ? дается формулой (28.2),
которая в данном случае записывается в виде
<"(?)> = {exp[E/(fcT)] - 1}--'. (46.64)
§ 46. Теплоемкость твердых тел 333
Для полной энергии фононов в теле получаем выражение *qd 30D/T
V= j ?Р (?)<"(?)> d? = 9/VcT^) J еХр^ ! ¦ (46.65)
О о
что, как и следовало ожидать, совпадает с формулой (46.54).
Приведенный вывод показывает, что представление о квазичастицах, в данном
случае фононах, позволяет пользоваться понятиями и математическими
приемами, выработанными для реальных частиц. Однако отсюда не следует
делать вывод, что квазичастицы существуют в том же смысле, в каком
существуют реальные частицы. Например, в приведенном выше выводе формулы
теплоемкости мы обращались с фотоном точно так же, как в § 28 с фотоном
при выводе формулы абсолютно черного тела. Тем не менее нельзя назвать
фонон элементарной частицей в том же смысле, в каком фотон является одной
из фундаментальных элементарных частиц физики.
Теплоемкость металлов. В этом случае к теплоемкости за счет колебаний
кристаллической решетки добавляется теплоемкость за счет свободных
электронов металла [см. (27.21)]. При обычной температуре она составляет
ничтожную часть решеточной теплоемкости и может не приниматься во
внимание. Однако с понижением температуры, поскольку решеточная
теплоемкость убывает как ~ Т3, а электронная - как ее роль возрастает и
при достаточно низкой температуре электронная теплоемкость играет главную
роль по сравнению с решеточной.
Пример 46.1. На основе классического закона равнораспределения вычислить
удельную теплоемкость КС1 и NaCl.
Поскольку у осциллятора средняя кинетическая энергия колебаний равна
средней потенциальной, на каждую колеблющуюся молекулу приходится средняя
энергия <е> = ЗкТ. Число молей в 1 кг массы равно 1/М, где М - молярная
масса. Следовательно, в 1 кг массы имеется п = NA/M молекул и удельная
теплоемкость равна
с = 8(6kTNA/M)/dT = 6kNJM = 6R/M.
Поскольку MKCi = 0,07456 кг/моль; MNaC1 = 0,05845, находим:
Ска = 6 ¦ 8,31/0,7456 ДжДкг • К); cNaC1 = 6 • 8,31/0,05845 ДжДкг ¦ К).
Пример 46.2. Изучить теплоемкость твердых тел в предположении, что фононы
являются фермионами и подчиняются, следовательно, не статистике Бозе -
Эйнштейна, а статистике Ферми - Дирака. В остальном их свойства считать
неизменными.
Ясно, что все расчеты, которые привели к формуле (46.65), остаются без
изменения, надо лишь выражение (46.64) для среднего числа частиц заменить
выражением, соответствующим статистике Ферми - Дирака, т. е. в
знаменателе изменить знак на плюс. В результате для полной энергии вместо
формулы (46.65) получим
(c)о/т
334 5. Твердые тела
Различие в поведении теплоемкости [см. (46.66)] по сравнению с (46.65)
сводится к следующему. При очень высокой температуре верхний предел мал и
в подынтегральном выражении можно положить ехр ?, " 1 + ?,. Тогда
теплоемкость (46.65) постоянна. Для ферми-частиц по формуле (46.66)
теплоемкость при высокой температуре стремится к нулю. Что касается
низкой температуры, то теплоемкость изменяется пропорционально Т3.
§ 47 Кристаллизация и плавление
Рассматривается физическая картина плавления, кристаллизации и
сублимации. Дается определение аномальных веществ. Описываются свойства
жидкого гелия. Приводится общая сравнительная характеристика фазовых
переходов первого и второго рода.
Определение. Опыт показывает, что при достаточно низком давлении при
понижении температуры все вещества, за исключением гелия, переходят в
твердое состояние, т. е. кристаллизуются. Жидкий Не II при давлении
меньше 3 МПа остается жидким вплоть до температуры О К. Лишь при давлении
свыше 3 МПа он при достаточно низкой температуре переходит в твердое
состояние. Такое поведение жидкого гелия обусловливается квантовыми
эффектами.
При высоком давлении с понижением температуры большинство веществ также
переходит в твердое состояние. Исключением из этого правила является ряд
аномальных веществ, которые остаются жидкими при очень большом давлении
вплоть до температуры О К. К аномальным относятся вещества, плотность
которых уменьшается при переходе из жидкого в твердое состояние при
условии, что эта особенность сохраняется вплоть до очень большого
