Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
(91)
Различные параметры Шц и Я и могут быть оценены с помощью теории
детерминантов (см. задачу о неортогональности в гл. 2, стр. 77; однако
встречающиеся здесь интегралы оценить несколько труднее, чем те
интегралы, с которыми мы сталкивались в том разделе). Они имеют разумную
величину (т. е. не имеют множителя порядка N); действительно, выражение
(91) совпадало бы с результатом гейзенберговской теории [см. выражения
(42) и (16)], если бы не зависимость знаменателя от к. Для длинных волн в
разложении Е (к) - Е (0) это сказывается на членах ~ к4
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
199
(и более высокого порядка) и может в конце концов привести к какому-то
экспериментально определяемому эффекту, обусловленному
неортогональностыо.
Можно предположить, что возможно построить линеаризованную версию теории
Гайтлера - Лондона, которая для многих магнонов в трех измерениях
воспроизведет некоторые из результатов теории "гармонично-осцилляторных
спиновых волн" в гейзенберговском ферромагнетике. Но такие попытки еще не
предпринимались. Не изучалась и двухмагнонная задача, властности
существование двухмагнонных связанных состояний в теории Гайтлера -
Лондона, хотя для этого необходимо лишь небольшое обобщение анализа,
проведенного в предыдущем разделе. В гл. 7 с помощью теории возмущений
выводится гамильтониан Гейзенберга методом, дающим возможность уточнить
расхождение с теорией Гайтлера - Лондона; расхождение связано с
поправками за счет членов третьего и более высоких порядков. Можно
видеть, что "неортогональность" возникает из одноэлектронного оператора
переноса в наинизшем приближении. Таким образом, схема Гайтлера - Лондона
есть приближение, идущее лишь незначительно дальше гейзенберговской
схемы, причем без выигрыша в глубине понимания, зато с большими
математическими трудностями.
НЕЛИПЕЙПАЯ ТЕОРИЯ'СПИНОВЫХ ВОЛН
Недавно Дайсон [10] впервые провел анализ низколежащих собственных
состояний гамильтониана Гейзенберга, чем значительно продвинул вперед
наши познания в этом вопросе. Программа нелинейной теории спиновых воля
может быть сформулирована следующим образом: желательно продвинуться
дальше в гармоническом приближении и вычислить простым и результативным
методом нелинейные поправки для трехмерного гейзенберговского
ферромагнетика. Это делается не для разработки теории, описывающей
ферромагнетики при произвольных температурах, ибо эта задача, хотя и
желательна, но недостижима с помощью простой, но точной техники. Поправки
вычисляются скорее для получения логически непротиворечивой теоретической
оценки пределов применимости теории гармонических осцилляторов. Этот путь
позволяет понять, находятся ли экспериментально наблюдаемые отклонения в
согласии с моделью Гейзенберга или нелинейности возникают по другим
причинам.
В классической теории мы уже наблюдали, что по мере возрастания амплитуд
спиновых волн частота их уменьшается. Исходя из этого, можно ожидать
следующих свойств спин-волновой теории: изменения (перенормировки) частот
с возрастанием числа возбуж-
200 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
дений в системе и возникновения соответствующего им конечного времени
жизни (или конечного свободного пробега) квази-нормальных плоских волн.
Здесь мы дадим несколько переупро-щенный расчет этих эффектов, однако
существуют обзоры, в которых обсуждаются эти задачи и анализируются
количественные достоинства различных схем [И -13].
Спиновые волны - это в первом приближении гармонические осцилляторы;
следовательно, в гамильтониан Гейзенберга желательно ввести бозоны.
Сначала исследуем, как это можно сделать для спина 1/2, приняв спин,
направленный вниз, за исходное состояние, или вакуум. Два собственных
состояния S\ таковы:
| 0) и 5i|0) = |l) мы имеем также [ 0) - Sf 11) (92)
и, кроме, того,
Si = ад--у И S-|0) = 0. (93)
Все эти свойства подобны свойствам операторов гармонических осцилляторов.
Простой подстановке бозе-операторов в гамильтониан Гейзенберга мешает
"кинематическое" ограничение, сохраняющее величину спина S2 = S (S + 1) =
3/4 = const. Благодаря этому
Sf|l) = 0, т. е. (Sf)* = (Sr)* = 0. (94)
Этим условиям, конечно, не подчиняются бозе-операторы. Но мы видели, как
можно пользоваться техникой Швингера, Холстейна - Примакова и других для
выражения операторов спина в виде нетривиальных функций некоторых
идеализированных бозе-операторов, и мы знаем, что желаемая процедура
может быть доведена до конца. Сначала введем оператор рождения а*
(поднимающий) и оператор уничтожения а;, а также полную систему
состояний, характеризующихся осцилляторными числами заполнения | /г), так
что
at | п) = У п-{-11 +1), аг | п) = )fп I п~ 1),
а; 10) = 0 a*ai I п) = п | /г), (95)
|П)^ 1 (ef)"|0).
у п\
Удобно определить оператор числа бозонов
пг=а?аг. (96)
собственные значения /г; которого указаны в состоянии |";). Чтобы ввести
обрезание спектра, соответствующее условию (94), мы должны найти
