Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
ей?)! -сЯ?22 -
' 11
Выразите эту формулу с помощью U, V, W, X и I и с помощью сравнения
(точным решением, найденным в части (а), определите физическую область
приближенной справедливости теории возмущений.
Важность этих вычислений заключается в том, чтобы показать, что
гамильтониан Гейзенберга может быть выведен на основе теории возмущений в
первом и втором порядках, используя орто-
ТРИ АТОМА ВОДОРОДА
65
гонализованные орбитальные состояния, и, следовательно, многие из
результатов этой теории (постоянная обмена, спиновые волны, наличие
температуры Кюри) справедливы, даже если несправедлива теория Гайтлера -
Лондона.
ТРИ АТОМА ВОДОРОДА
Полный гамильтониан состоит из групп членов, соответствующих
отдельным атомам водорода, плюс члены взаимодействия:
г1а / ч от. ггЬ / ч ст. г3с
+ е2 + ^ + + ^ + +
- ( - + - ) - f - 4 -) 1 =
V r2a r2c ) V ''За r3Ъ I J = + (21)
Как и раньше, мы используем произведения неортогональных атомных функций
- собственных функций уравнений типа (9), полное число которых 3! = 6.
Обозначим их так
ф4 = фа (1) фь (2) Фс (3), ф4 = фа (1) фь (3) фс (2),
Ф2 = фа(2)фь(1)фс(3), фэ = фи (2) Фь (3) Фс (1), (22)
Фз = фа (3) фь (2) фс (1), Фб = Фа (3) фь (1) фс (2).
Каким образом они сопоставляются друг другу при перестановках различных
частиц? Для простоты запишем ф4 как 1, ф2 как 2 и т. д. Теперь мы можем
записать все проще и показать, в какую из функций преобразовывается
каждая из этих шести при транспозициях (перестановках) двух частиц:
1->2, 3 или 4, 3->1, 5 или 6, 5->2, 3 или 4,
2->1, 5 или 6, 4->1, 5 или 6, 6->2, 3 или 4
и при нетривиальных перестановках всех трех частиц:
1 -> 5, 6, 4-> 2, 3,
2 -> 3, 4, 5 -> 1, 6, (24)
3 -> 2, 4, 6-¦ 1, 5.
Таким образом, для атомов, расположенных на равных расстояниях в вершинах
равностороннего треугольника (фиг. 2.4):
\ ф*ф2с?т = ^ ф*ф3с?г= ^ ф|ф4йт= Za= ^ ф|ф8^т и т. д. (25)
5 д. Маттис
6G
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
^ ф?ф6 dr = ^ dr = Iя = ^ ¦фг'фзс1т 11
т. д.
(26)
Вообще, если мы используем эти интегралы для определения матрицы
перекрытия Q
то получим просто
Q
Q; Ф; dr,
Л I2 I2 I2 Р Р\
I2 1 I3 Р I2 I2
I2 I3 1 I3 Р Р
I2 I3 I3 1 р Р
I3 р I2 I2 1 Р
\р I2 I2 I2 Р 1 У
(27)
(28)
вещественную симметричную матрицу. А что же касается матричных элементов
гамильтониана, то нет необходимости исследовать все 36 возможностей,
достаточно и 6:
J Wmxiridr = Hui,
1, 2, ..., 6,
(29)
так как мы можем получить все остальные просто соответствующими
перестановками, из коих только три независимы. Вот они:
Я,
г 1.1
3 е + Н'ии (30а)
Ни 2 = Ни з - Я1>4 = 3eZz +¦ Я1,2, (306)
Ни5 = Нив = Зе1* + Ни&. (ЗОв)
Из (30а) мы получаем также Я2,2 = Я3, 3 = . . . = Hlt Из (306) мы
получаем элементы матрицы $}, построенные на любой из функций (23),
например Я2,5 = Я]>2 и т. д., а (ЗОв) дает прототип матричного элемента,
построенного на функциях (24). Несколько изменив обозначения, можно
значительно упростить вид матрицы взаимодействия. Мы определяем А, Ъ и с:
А = Н\Л, ЪРА = Н\ г и сРА Н\'$. (31)
Выразив матричные элементы через параметры А, Ъ, с и ранее
определенный интеграл перекрытия I [ср. выражение (10)], особенно удобно
вывести матрицу гамильтониана: матрица перекрытия, умноженная на Зе, плюс
матрица взаимодействия, умноженная на А (которую можно вывести из матрицы
перекрытия, просто заменяя в последней Р на ЪР и I3 на cl3). Так что
уравнение для
ТРИ АТОМА ВОДОРОДА
Г,7
собственных значений имеет вид
^ ЪР сР 1 сР Ы2 Ы2
сР Ы2 Ы2 Ы2 1 cl3 \сР Ы2 Ы2 Ы2 cl3 1 /
/ 1 Ы2 Ы2 Ы2 cl3 cl3\ Ы2 1 cZ3 cl3 Ы2 ЬР
Ы2 cl3 cl3 1 Ы2 Ы2
¦ \ = (Е - Зе)
/I I'2 Zz Zz Z3 Z3\
11 4 гз 2a ii
Р I3 1 Z3 I2 I2
12 I3 I3 1 I2 I2
13 12 I2 12 1 Р
\Р I2 Р I2 Р 1/
¦V. (32)
Мы обозначили собственные векторы через v. Построим шесть различных
собственных векторов, используя только что приведенную таблицу. Начинают
с %, или в векторном обозначении:
Полностью симметричная функция строится путем добавления к этому вектору
всех векторов, полученных перестановкой частиц; например,
(Для упрощения мы записываем все векторы в виде матриц из одной строки.
Технически, таким образом, они являются левыми собственными векторами.)
Для полностью антисимметричной функции мы снова можем начать с %, вычтя
все нечетные перестановки, определяемые соотношениями (23), и добавив
четные перестановки, определяемые (24):
Затем мы ищем векторы, антисимметричные относительно частиц 2 и 3, но не
полностью антисимметричные, ортогональные vaCHMM. Находим
О
О
О
О
(33)
Ўсимм-(1, Д Д 1, 1, 1).
(34)
Ўаснмм-(1, 1, Д Д -Д Д -Д !)¦
(35)
(36)
Ў23 = (О, Д -1, 0, +1, -1).
5*
68
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Потом мы ищем векторы, симметричные относительно частиц 2 и ii, но
ортогональные Vchmm
однако этот выбор не абсолютен. Важно отметить, что из-за инвариантности
гамильтониана относительно групп перестановок функции различных симметрий
не смешиваются. Полностью симметричные и полностью антисимметричные
функции стоят особняком в своем собственном классе симметрии и,
