Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
известны значения u( х, 1) и и'х С г, t) .
Лемма 2.1" Пусть U(x, -t)- гладкое решение уравнения
, f(tu
причем ^(оПЦ-Н =
и oU-t) , ^(-t4) -непрерывные функции. Тогда К(тД) .
Доказательство, Представки решение уравнения в
виде ,
Ц(Х,-0= |>(x4.c-t)+ <{, ( Х-с4).
Тогда из условий леммы имеем г
(<*(-t) + c-fc) + ^(^^)-с4г) = о;
р1 ( f('tHc't) +с|7^)-с'С)^о.
Возьмем Т" такое, что d(-t)'c-t= я(т)-с.Т.
Имеет место равенство '
^'(cU-tWH = pVfCO'-c'O. (2.3)
Из непрерывности функций ?'(р, ^(А), ?>(4) и из (2.3) следует, что f'00 "
постоянная. Таким образом^( г,-И = О.
Лемма доказана.
Предположим, что для решения uCx.-t) уравнения (I.I) граница множества
(*,¦(.') , где U',.U,4) = o, представляет собой
совокупность непрерывных кривых х*^(А) , (о)= о, ^(4)< ?,(¦{.)
при 4 > о • Тогда из леммы 2.1 следует, что и'ж( х,±) >)о I при ^<A)fc
.Напомним, что гл 'х (х( 4) не обращается
в ноль в областях xb-i/T^q-t и 4 . Итак, искомое
' решеиие uCx.-t-) уравнения (I.I) в области х"= v/TT^-t
имеет следующую структуру: >,о при -VFa-ti хь B(-fc)
1l'r - О при ?> (4) fc X t Д <-4) и Ц1, fc о при <А1\) i х t \Д+0 4: .
Рассмотрим гладкое решение уравнения(1Д) и(г,4) в области I "П4)-S' (4)
<, oct а 14)-*-S'(4) , где Ь (4) - непрерывная положительная при 4 > о
функция. Предположим, что в областях J(4)- ?(4)s xt "U-О , x< 544
функция U(r,4)
имеет непрерывные производные второго порядка.Естественна,что на кривой
х= ы.(4) эти вторые производные могут иметь скачок. Кроме того,
предположим, что при х >, ыА) для плотного на ?о,Т] множества значений 4
функция UCx/fc) nor не является постоянной вблизи х= "л (4) . Пусть "а<
4) -гладкая
кривая и ( oL( 4)| ^ \TT+q 4 . Последнее неравенство следует
из предположений относительно начальных условий.
Лемма 2.2. Имеет место неравенство \dL'(t)l ^ \J{-а, .
Доказательство. Рассмотрим 4" из Со,ТЗ такое, что U^t (di(40) +оД0) ^ о.
Таких значений 4С на Со/Т] имеется плотное множество, так как если в
некотором интервале 4 < с 4 <4^ (.*u4Ao;-fc) = о ,го мы приходим к задаче
Коши с нулевыми начальными данными в области х >/<*(4):
, W(cA<4),4K-o, ^U<4)4)-0,
И, следовательно, u(r,4') - постоянная по х функция в некото-
- 14 -
рой области, примыкающей оправа к кривой a^oU-t) при^1<-^<1д Очевидно,
что U'xx (clK,,) +o(-t0) ^ о и это неравенство сохраняется в некоторой
окрестности \о . Функция и (хД) допускает представление.
^ (x+'Ji ai~) + CjA ( х- vA-ci t при x^au-t)^
a(x^). рлсх+\га4)-,-^(х-хДТц-(:) "P" *>/*(+)"
и выполняются соотношения
t"Ak)+\/7^-k)-t (Ц(лИ)-УТга-?-) = О (2.4)
fi.(+ <Ji (cil^-v/f^') <; 0 (2.5)!
[a Ul-t^VT+at) + (cLlk)~ \A+q 4) = o (2.6) i
(M\) + 'J* + Q-\:)+ C|^(^^)-v/ua4;) i о (2.7)
pt ("a.tk) + \/Тч" -t) •+ aL (Д i-t) - '^ro -t) -' (2.8) = (J. (k) *
vTTq -t ) + <j 4 (<*• (A) - v/T+Q -t )
Предположим, что при некотором -b выполняются неравенства
sTTh * i >ГГГ5 • (2-9>
Тогда неравенство вида (2.9) имеет место и в некоторой окрестнО' оти
точки "t . В этой окрестности рассмотрим соотношения (2.4)'
(2.8). Далее рассмотрим интервал i., , расположенный в bi
деленной окрестности, в котором неравенство (2.7) имеет вид;
- 15 -
Из (2.4), (2.6) и (2.8) находим, что ^ <^'= \JTTK ^ Откуда имеем ;
Я'*- - a . °1-' ~ q "
v*-'
(2.12)
Условия
(2.9) и (2.II) противоречат равенству (2.12).
рАииш+>/ГГ"+)+ (Jilk)-VmК) < О
(2. ю;
Итак неравенство (2.9) невозможно. Следовательно, либо U'UVF^ либо*'^Ч
>W7+a • Последнее неравенство противоречит условию I dUk) 1 хх/ТП" -t
. Лемма доказана.
замечание 2.1. Из рассуждений леммы 2.2 следует, что на плотном
множестве значений + из С о,Т ]
(^. (<A(k) ~\/< + qk )*¦ О, (<uk)+\/7+q-{ ) с о к" i,i.
Из (2.12) следует, что I d.'\ \/<-a для плотного множества
значений.
Лемма 2.5. Пусть u(x,-k) - гладкое решение уравнения (I.I), выполняются
предположения леммы 2.2 относительно u.(x,-t^ в окрестности x^oU-t) и oU-
l) - гладкая функция. Пусть pi-t)-
непрерывная функция, в. (-к> б dak) и 11^ = 0 при ^(4)^
х*otfk).
Тогда <к ( к ) - р(к-) .
Доказательство. Положим U ^ I, г; к.) - при х?
и(>)Цг') при X;, c^i.k') • Пусть в некотором ин-
a
тервале выполняется неравенство с-t> <l dk(A')
Тогда в этом интервале
U
Функция
t( pd).k) = Ux Criit-f) ,k) =
x-t4)
U.
Существование такого интервала было доказано ранее. В этом интервале из
(2.6) и (2.10) следует, что ij' со. Соотношение
(2.5), учитывая (2.4), (2.9), можно записать в виде
чГ
*0'
имеет вид ;
uA(x,k)= (x+Vual) VvTa-k) ?
(2.13)
(2.14)
причем
(2.II)
^(dlk)+v/TTq't,V^^C^)~V^'t^= °'
Из условий (2.13),(2.14) находим, что
( oL' +\ДТа ) p4* +("*.'- у/Т+с") ^
Таким образом, получаем, что A\/7+q рЛ' (eat) + \/Т+Ы ) -Дифференцируя
последнее равенство, находим, что
(л' +\Г(+о! ( aI^ + N/a-vqA.) ^ о • (2.I5V
\
Равенство (2.15) невозможно в силу леммы 2.2 и замечания 2.1. 1
Итак, в предположении, что границей множества 1Д'Х = о являет^ ся
совокупность гладких кривых, выходящих из точки х = о, и что \ 14(1,4=) -
дважды гладкая функция в области -\А-a 4 t х 6 'ГГ+q-t j вне этих кривых,
