Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
дальнейшем возрастании этого отношения частоты начинают расходиться. Они
не пересекаются ни при каком конечном расстоянии между дефектами. В
пределе при MJM2 ->оо частота, отщепившаяся от нижнего края оптической
ветви, стремится к значению, соответствующему середине запрещенной
полосы, а частота, отщепившаяся от верхнего края акустической ветви,
возвращается к исходному значению.
Уоллис и Марадудин [229] применили изложенные в этом разделе методы к
определению инфракрасного оптического поглощения ионными кристаллами,
содер-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 241
жащими замещающие примеси. Для ионного кристалла была принята простая
модель, учитывающая взаимодействие ближайших соседей, и были вычислены
частоты примесных колебаний, которые могут взаимодействовать с полем
излучения. Несмотря на грубость модели, рассчитанные частоты оказались в
хорошем согласии с экспериментальными результатами, полученными Шефером
[234] при исследовании поглощения (/-центрами (ионы Н" в подрешетке
галогена) в КС1 и NaCl. Как выяснилось, это согласие является случайным и
объясняется тем, что в качестве максимальной частоты колебаний кристалла
использовалась частота остаточных лучей. Оказалось, что это является
плохим приближением при рассмотрении (/-центра как дефекта, причем его
связь со своими ближайшими соседями оказалась слабее, чем связь того
иона, который он замещает [396].
В качестве другого примера возникновения локальных колебаний рассмотрим
случай соприкосновения двух атомных цепочек, одна из которых состоит из
частиц с массой mi и силовая постоянная связи в ней равна Yi. а другая
состоит из частиц с массой тг и имеет силовую постоянную связи Y2- Будем
нумеровать отрицательными целыми числами -Nu -Ni+1, ... , -2, -1 частицы
с массой nti и неотрицательными числами 0, 1, 2, ... , N2-1 частицы с
массой т2; силовую постоянную пружины, связывающей крайние атомы (-1 и 0)
двух цепочек, обозначим через Y-
Если в качестве невозмущенной решетки взять несвязанные цепочки (что
соответствует случаю y=0), т0 элементами матрицы возмущения [определяемой
формулой (5.3.10)] будут
etj ~ У [ 6i. -16j. -1 + \ -i6y, о~Ь e<, <fij, -1 в/, ов./( о]"
(5.6.19)
и, следовательно, элементы матрицы Д(ю) [см. формулу (5.3.10)] имеют вид
\j = 6<j + Y - atf)Ъ,' 0].
(5.6.20)
16 Зак. 1491
242
Глава V
Матрица {л^1*} невозмущенной решетки имеет блочную структуру
• • • ^-2, -2 • ^-1. -2 1 1 • с5 н 1 1 . 0
0 со, 0 си 0 С0, 1 • • • chl • • •
, (5.6.21)
где Ьц - элементы матрицы, обратной динамической матрице цепочки со
свободными концами, составленной из Ni частиц с массой тi, связанных
пружинами с силовыми постоянными yi- Аналогично Сц - элементы матрицы,
обратной динамической матрице цепочки со свободными концами, составленной
из Nz частиц с массой тг, связанных пружинами с силовой постоянной уг-
Определитель |А(ю) | приводится к виду
I" / ч|_ 1 Y (^-1, о - b-i, -i) Y(^-i, о - ^-1, -i)
- Y(со, -i со, о) l + Vfa", -i - ^o, о)
(5.6.22)
Поскольку в невозмущенной решетке частицы в точках 0 и -1 не связаны и,
следовательно, независимы, то 6_i o = a<j11)o = 0 и Таким образом,
уравнение, из которого определяются частоты нормальных колебаний
возмущенной решетки, имеет следующий вид:
|А(о>)| =0 = 1 - y[&_i,_i + <?0,o1- (5-6.23)
Не зависящие от времени амплитуды смещений {""} определяются формулой
[см. (5.3.51)]
ип~ 2 алт' гткик =
МК
*=-y-<;>]"о+Ко*-(5.6.24)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 243
которую можно также записать в виде
Ил=\Сл>о|Ио-И_,Ь й> О, /сй9сч
= - "оЬ "< -1.
если использовать свойства элементов матрицы, обратной динамической
матрице. Следует отметить, что если в левых частях равенств (5.6.25)
положить п равным соответственно 0 и -1, то получится система однородных
линейных уравнений для м0 и и~и и условием существования
ненулевого решения этой системы будет
уравнение (5.6.23).
Матричные элементы a\jl)для цепочки с массами m и силовыми постоянными y
были найдены для случая свободных концов (гого случая, который нам нужен)
в работе [75]. Из этой работы следует, что интересующие нас матричные
элементы равны
.____________1 ¦ 2 у__________cos8 (njftN,)____________
-1* -1 Nt, Ш\вР ' Nt ?4 /я,(r)2 - 2yi •+• 2vi cos (nJ/Nt) '
J=1 (5.6.26)
1 | 2 V cos2 (nj/2Nt)
°* 0 Ntm&P ' N3 /Яг(r)2 - 2\2 + 2\г cos (л j/N2) '
Суммы, стоящие в этих выражениях, могут быть вычислены в конечном
виде. Положив, например,
^- = sin'-|L, (5.6.27а)
мы получим
, 1 2 sin2 (0j/2) 1 | 1 /i I 0| с*"дг g ^
-дат sin2(0,/2) 2yi \ 2 C S 1 lj*
(5.6.276)
Выражения для Со,о получаются из формул (5.6.27), если индекс 1 заменить
всюду на индекс 2.
Наибольшая частота для одной половины невозмущенной цепочки, т. е. для
цепочки с массами /гаi и силовыми постоянными Yi" равна <*% = 4yl/mv
Аналогично максимальная частота второй половины невозмущенной
16*
244
Глава V
цепочки равна а$ = 4у2/т2. Без потери общности можно предположить, что ю2
