Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
при наличии дефектов, так как в этих случаях функция f(o) имеет
бесконечно большое число полюсов на мнимой оси. В случае свободной
энергии, например, мы видели, что
f(<a) - kT In |2 sh 2^}* (5.3.28)
190
Глава V
Эту трудность можно обойти, если разложить функцию /(<о) в ряд следующим
образом:
/ ((r)) = ~ /ко-)- kT In (1 - =
1 VI л-лАсо/ЛГ
г=уйю - kT ^-. (5.3.29)
П=1
Эта формула справедлива при всех температурах, но она особенно удобна в
случае низких температур. Приращение свободной энергии при этом
оказывается равным
СО
ЬР(Т) = Д?0 - 2 . (5.3.30)
где
Л?о=4^г/^1п|Д(г)|, (5.3.31а)
с
Д/" (Г) =f e-n^kTd In IA (2) |. (5.3.316)
с
Если выбрать контур, указанный на фиг. 22, то эти выражения приводятся к
следующим вещественным интегралам:
00
Л?о = --|г/(5-3'32а)
О
со
*/"(71=4/Q(f)sin (anf)df, (5.3.326)
о
где an=nh(aLfkT и f=(o/a>L. При низких температурах величины ап очень
велики, и, интегрируя по частям, мы получаем
дг<(п^1[?(01-1. (5.3.33,
Я L ая "я ап J
Подставив это разложение обратно в формулу (5.3.30) и произведя
суммирование по п, мы окончательно полу-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 191
чаем
AF (7) = Д?0 - 4 j ? G (0) ( "-) - ? d"> (0) ( "!)' +
Р'3'34"
Можно показать, что это выражение справедливо для одномерных и трехмерных
решеток (в последнем случае ?2(0) =0), однако для двумерных решеток
функция 71(f) имеет при f=0 точку ветвления, и разложение в ряд различных
функций А1п(Т) при низких температурах требует применения особых методов.
Этот случай был детально изучен Маханти1).
В пределе высоких температур свободная энергия может быть записана в виде
?(-1Г*&г(?Г
j } л=1
(5.3.35)
где В2п- числа Бернулли
B2--q, В 4 - "go" 1 В§ = -^2 1 •••• (5.3.36)
Меняя порядок суммирования по / и по п и вспоминая определение цгп,
момента порядка 2п функции распределения частот
/
получаем
Р(Г) = кТ\п'11(^)и +
J
оо
+^Т^(-\)п+1 (5.3.37)
Л = 1
где мы положили Q = hbtL/k. Это разложение справедливо для всех решеток и
не зависит от размерности
>) J Mahanty, Thesis (1959), не опубликовано,
192
Глава V
решетки. Ряд сходится при 0/7'<2я. Однако для того, чтобы расширить
область применимости этого разложения в сторону более низких температур,
можно воспользоваться методом, изложенным в гл. IV, § 1. Первое слагаемое
выражения (5.3.37) можно переписать в виде
(?)V
= erf* kT \п-\--^kTIn П /*. (5.3.38)
i
Однако из формулы (5.3.13) видно, что 1м(Ш)|=Ли" П(/5~Г).
|м"(<о)|=д,<"г1^-П- (5'3'39'
Поэтому окончательно
Д/ЧГ)=-у * Л п 4-14 (/= 0) I +
. (5.3.40)
Л=1
Приращения моментов легче всего получить при помощи формулы (5.3.27).
Ямахузи и Танака [226] вывели формулу (5.3.40) другим способом.
В тех случаях, когда функция ln|A(/f)| при /->0 стремится к нулю быстрее,
чем г1, и когда Нш In | Д (//) | = 0, как это имеет место при вычислении
/-*+ о
функции S взаимодействия пары дефектов, существует более простой способ
определения приращений термодинамических функций для высоких температур.
Взяв по частям интеграл, стоящий в формуле (5.3.326), получим
Ы"(Т) = - J cosIn | A (if)\df. (5.3.41)
о
Подставив теперь это выражение в ту часть формулы
(5.3.30), в которой имеется зависимость от температуры,
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 193
получим
Af(T) = -^rfi f cos ~~%f~ In IA (Ф I df. (5.3.42) /1=1 о
Меняя порядок суммирования и интегрирования и используя соотношения
ОО ОО
V cos пх - я V Ь(х - 2яу) - -i-,
л=1 у=- оо (5.3.43)
b[f(x)) = ^tb(x-xlY/\f'(xl)\,
где величины jcj - простые корни уравнения f(x)=0, можно преобразовать
формулу (5.3.42) к виду
°о °0 . ,
AF(D=^l S f Ь \~kT- 2яу) In | A (if) | df -
>=-oo О
"¦%rf ln\W\df- (5.3.44a)
о
Однако, выполняя в формуле (5.3.32а) интегрирование по частям, мы видим,
что приращение нулевой энергии в этом случае может быть также записано в
виде
ОО
Л?° = -|г/ ln IД W) I df- (5.3.446)
о
Комбинируя формулы (5.3.44а) и (5.3.446), окончательно получим
00
&F(T) = kT 2*п|а(/ -^) |. (5.3.45)
Если разложить выражение в правой части этого равенства в ряд по обратным
степеням температуры Т, то суммы по / можно будет выразить через дзета-
функции Римана, и, таким образом, мы получим требуемое разложение для
случая высоких температур.
13 Зак. 1491
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 195
Подставляя полученный результат обратно в равенство (5.3.47),
окончательно получим
Ua (I) = 2 О ар (х (/) - х (/'); со) Д (О, (5.3.48)
V, I"
Р. V
где
Оор(х(Л - х(/'); го) = g /к\ /к\
=жЕехр[2я/к•(х(/)-хи- (5-3-49)
к, j 3
Функция Gap (х (/)-х(Г); ш) называется функцией Грина для оператора в
конечных разностях, стоящего в левой части формулы (5.3.46). Она
удовлетворяет уравнению
2 (ММаЪф - Фар (//')) Gpv (х (/') -
- х(/"); <o)=6/r6av. (5.3.50)
Поскольку соотношение (5.3.48) справедливо для всех значений индексов / и
а, то оно должно остаться справедливым и в том случае, когда мы будем
последовательно полагать индексы I и а в левой части равными тем индексам
