Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
то второе и третье уравнения являются следствием первого, и, таким
образом, мы имеем для трех неизвестных одно уравнение. Можно задать
произвольно две из величин х, у, z.
Именно такой случай имеет место для системы (17) при подстановке в нее
значения <о2, являющегося кратным корнем ее детерминантного уравнения.
Здесь можно задать произвольно две амплитуды, скажем АР и Ар. Благодаря
этому получается требуемое число постоянных интегрирования.
ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
289
ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
(Апрель 1931 г.)
Системы со многими степенями свободы, кратные корни (повторение).
Использование симметрии для отыскания формы и частоты колебаний. Введение
в теорию кристаллических решеток. Квантовая теория теплоемкости
кристаллов. Работа Эйнштейна. Приближенный прием Дебая. Решение
дискретной задачи Борном и Карманом. Одномерная модель кристалла,
состоящего из двух сортов атомов. Дебаевский и борновский
спектры.
Повторим сначала несколько общих замечаний, относящихся к системам с п
степенями свободы. Мы имели:
2(-ы2а№-+-сц)А^ = 0 (i = 1, 2,..., n). (1)
k=1
Эти п линейных однородных уравнений для А^к) определяют собственные
колебания: собственные частоты и типы колебаний (относительное
распределение амплитуд для всех координат). Уравнения (1) имеют не
тривиальные решения только тогда, когда детерминант
I - а не -+~ См i = 0. (2)
Уравнение (2) для ы2 имеет п корней (гг собственных частот). Если все
корни различны, то каждой частоте соответствуют вполне определенные
отношения амплитуд А^к>. Амплитуды определяются в этом случае системой с
точностью до произвольного постоянного множителя.
Но может быть и так, что уравнение (2) имеет равные корни. Вообще говоря,
в этом случае постоянных А^ нехватает для построения общего решения той
системы дифференциальных уравнений, из которых получилась система (1). Но
для интересующих нас систем, если детерминант имеет двойной корень, то
этот корень обращает в нуль также миноры (п - 1)-го порядка. Это значит,
что независимых соотношений для АК > имеется не п - 1, а только п - 2.
Следовательно, отношения амплитуд не определены однозначно. При кратном
корне получается произвол, "сте-пень" которого равна кратности корня.
Умножим каждое из уравнений (1) на /t(,) и просуммируем их; это дает:
П П
м2 2 а,-И(,'М№)- 2 с*Л(М<*Ь= о,
s к=1 f, к-1
19 Л. И. Мандельштам, том IV
290
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
откуда
А<У)
~ Т{А"\ А<Н) ' { }
Вообще говоря, формула (3) не избавляет от необходимости решать
детерминантное уравнение. Для того, чтобы вычислить со
по формуле (3), нужно в нее подставить такие значения Д(<) и A
которые удовлетворяют уравнениям (1), а обычно их можно узнать, лишь
решив уравнение (2).
Но из свойства собственных частот, выражаемого формулой (3), можно
сделать много различных выводов. Она позволяет установить некоторые
законы, которым удовлетворяет расположение корней детерми-нантного
уравнения. Она дает качественные ответы на вопрос о том, как меняются
частоты в зависимости от условий задачи (я имею в виду теоремы Куранта).
Это очень важно, так как решать урав-
нения л-ой степени чрезвычайно непри-Рис. 116. ятно.
Теоремы Куранта хорошо изложены1. Те вещи, о которых будет идти речь
дальше, менее доступны: они разбросаны по разным местам.
Иногда удается найти распределение амплитуд сразу, т. е. не решая
уравнения (2). Тогда с помощью (3) можно очень просто определить частоты.
Поясним это на примере (рис. 116). Эта модель не совсем выдумана.
Примерно так сейчас представляют себе ячейку решетки кальцита С03.
Высокая степень симметрии настолько облегчает здесь решение задачи, что
можно получить ответ без всяких вычислений.
Если уравнение (2) имеет корень л-ой кратности, т. е. существует
единственная частота, этот корень обращает в нуль миноры всех порядков,
до элементов детерминанта включительно. Из того, что при некотором
значении со все элементы детерминанта обращаются в нуль, следует, что
^-= const.
Cik
1 [Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, гл. 1, § 4. 3-е
изд., М., 1951.]
ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
291
для всех значений ? и к. Такое соотношение между кинетической и
потенциальной энергией возможно, если
1) совсем нет связей между координатами,
2) имеются как инерционные, так и упругие связи. Следовательно, если
имеются связи, но только одного типа,
то не может быть корня л-ой кратности.
Модель, изображенная на рис. 116, имеет три колебательные степени
свободы. Тройной корень невозможен, так как имеется только один тип
связи. Следовательно, имеется по крайней мере один простой корень.
Пусть при некотором нормальном колебании
В силу симметрии системы возможно нормальное колебание той же частоты,
при котором
¦Д7=К (5)
и нормальное колебание той же частоты, при котором
= (6)
Для простого корня отношение амплитуд однозначно определено, и,
следовательно, распределения (4) - (6) должны совпадать.
Это возможно, только если k2 = k3 = 1. Итак, для простого
