Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
концентрации сигнала.
Мы рассмотрели частный пример отрезка синусоиды. Возьмем теперь другой
частный пример:
f(t) = е~т* cos at.
Если к очень мало, то амплитуда изменяется очень медленно-сигнал весьма
расплывчат. И здесь можно показать, что если к мало, то колебания очень
монохроматичны, а если к велико, то происходит потеря монохроматичности.
Можно и нужно ввести меру (критерий) монохроматичности и меру (критерий)
расплывчатости (или, что то же самое, меру немонохроматичности и меру
концентрированности), и нужно показать, как мера расплывчатости связана с
мерой монохроматичности. Для общего случая это не сделано1.
Мы знаем, мы на этом останавливались2, почему вопросы спектрального
разложения играют в физике существенную роль.
1 [См. А. Г. Майер и М. А. Леонтович. Об одном неравенстве, связанном с
интегралом Фурье. ДАН, 4, 353, 1934.]
8 [См. 16, 20-ую и 21-ую лекции.]
208
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Так, например, монохроматический свет дает при падении на диффракционную
решетку острые максимумы, резкие линии. Монохроматический свет другой
длины волны дает резкие линии в другом месте. Для того, чтобы узнать, что
будет после падения на диффракционную решетку данного импульса, данного
светового сигнала, мы должны разложить его в ряд или в интеграл Фурье.
Диффракционная решетка, так же как резонатор, выделяет монохроматические
волны. Решетка -это тоже реактив на монохроматичность. Поэтому и здесь
важно знать, что концентрированный сигнал не может быть
монохроматическим.
В волновой механике ставятся аналогичные вопросы. Идеи, связанные с
появлением волновой механики, мы здесь оставим
в стороне. Однако я не могу не f\(\(\f\f\f\f\B упомянуть о том, какую
роль иг-
n\J\j\J\J\J\j\j рает в волновой механике теорема
о несовместимости монохроматич-Рис- ности и концентрированности.
В волновой механике утверждается, что с электроном сопряжена волна,
квадрат амплитуды которой дает вероятность того, что электрон находится в
данном месте. Пусть волна имеет форму рассмотренного нами отрезка
синусоиды (рис. 77). Волновая механика истолкует это так: левее А
вероятность нахождения электрона равна нулю, между А и В она имеет
некоторое постоянное значение, правее В она снова равна нулю.
Бесконечная монохроматическая волна соответствует электрону с
определенной, фиксированной скоростью. Но пусть волна не--
монохроматическая. Тогда можно говорить о вероятности того, что скорость
находится в данных границах. Волновая механика утверждает следующее.
Нужно разложить заданную волну на сумму монохроматических волн
(бесконечных синусоид). Тогда вероятности того, что электрон имеет ту или
другую скорость, относятся друг к другу, как квадраты амплитуд
соответствующих этим скоростям монохроматических волн (для точности здесь
нужно говорить об интеграле Фурье и об отношении квадратов амплитудных
плотностей).
Если волна, указывающая вероятность положения электрона,
сконцентрирована, т. е. если с значительной точностью задано положение
электрона, то на основании предыдущего мы можем утверждать, что имеется
размытое распределение для вероятности
ДВАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
209
¦скоростей. Мы получаем большую неопределенность в скорости электронов.
Если согласиться с тем, что связь между волной, с. одной стороны,
координатой и скоростью электрона - с другой, такая, как указывает
волновая механика, то отсюда с необходимостью следует вывод: точное
значение положения и точное значение скорости исключают друг друга.
Классическая механика исходила из мысли, что можно одновременно
установить с любой (принципиально) точностью и положение и скорость
частицы. Она учит, как движется тело, если даны х0 и х0, в один и тот же
момент времени. Волновая механика приводит к тому принципиальному
результату, что электрон не может иметь одновременно точное положение и
точную скорость.
Если мы приняли то определение вероятности для скорости н координаты,
которое дает волновая механика, то вопрос о том, верен ли только что
сформулированный результат, - вопрос чисто математический, связанный с
теорией интеграла Фурье. Этого нельзя понять с двух слов. Для того, чтобы
здесь все понять, нужно математическое исследование.
Позвольте на этом кончить с интегралом Фурье.
Мы узнали, что действие произвольной силы можно свести на знакомые вещи,
на монохроматические колебания. Часто поступают иначе. Часто бывает
гораздо правильнее задать начальные условия и решать задачу в лоб, беря
силу такой, как она дана.
Не трудно убедиться подстановкой (доказательство подстановкой является
совершенно строгим), что
угодно f{t). Оно применимо, например, и в том случае, если на маятник
подействовал кратковременный толчок - заведомо несинусоидальная сила. Как
найдено решение (15) -это другое дело (его находят методом вариации
постоянных). Но это решение, и оно содержит две произвольные постоянные,
т. е. является общим решением. Начальные условия удовлетворяются подбором
