Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Почему со называется циклической частотой? Рассмотрим равномерное
движение по окружности, происходящее с тем же периодом, что и наше
гармоническое колебание. Тогда ш будет угловой скоростью движения по
кругу (циклу).
Физический смысл величины а весьма прост. Эта величина, называемая
амплитудой, равна максимальному значению у.
Что такое 9? Если мы изменим величину 9, которая называется фазой, то
функция будет приобретать то значение, которое она имела в определенный
момент i = t1 при каком-то другом значении t-t2. Сдвиг на V4 периода
соответствует 9 = 77/2. Функции cos и sin отличаются только фазой: замена
одной из этих функций другой означает лишь перемещение кривой по времени
на четверть периода.
Фаза играет чрезвычайно важную роль, если имеется два колебательных
процесса и производится сдвиг одного из них по отношению к другому.
Интересно, каковы численные значения частот у встречающихся в природе
периодических процессов.
Вот частоты некоторых периодических явлений в сек-1:
10-10-вековые возмущения планет;
10-8-обращения планет;
10-5 - приливы и отливы;
101 - колебания в машинах;
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
19
10и - секундный маятник; до 104 - акустические колебания;
105--108 - быстрые (ультразвуковые) механические колебания пьезокварца;
50 - переменный ток;
105-108 - радиотелеграфия;
1012- инфракрасное излучение;
1015 - видимый оптический спектр;
Ю18 - рентгеновы лучи;
Ю20 - у-лучи;
1023--космические лучи.
Таким образом, получается колоссальный диапазон от 10~10 до 1023
колебаний в секунду. При этом ряд характерных закономерностей остается в
силе на протяжении всей шкалы, например, в приливах и в световых
колебаниях.. .
Остановимся коротко на некоторых свойствах функций cos и sin.
Рассмотрим прежде всего их средние значения. Среднее из нескольких
величин есть сумма этих величин, деленная на их число. Например, среднее
из четырех чисел 3, 4, 5, 10 есть
3 4 н- 5 ¦+¦ 10 . .
4 Э,Э.
Подобно этому среднее значение функции f(i) в интервале от ^ до t2 есть
к
к
Во многих вопросах это среднее играет первостепенную роль. Вот, например,
один из таких вопросов: дана большая масса, как она будет двигаться при
действии на нее быстропеременной силы? Для ответа на этот вопрос нужно
знать среднее значение силы1. Среднее значение cos за период равно нулю:
cos(wf - <р) = 0; его среднее значение за полпериода равно 2/те.
1 [См. 20-ую лекцию.] 2*
20
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Часто представляет интерес среднее квадратичное значение синусообразной
функции, т. е. среднее значение от
Оно равно
Это чрезвычайно важный результат. Например, в случае синусообразного
переменного тока среднее, выделяющееся в единицу времени, количество
теплоты пропорционально а2/2; теплоты выделяется в среднем столько же,
как если бы тёк постоянный ток силы а/у/2. Величина а/у/2 называется
эффективным значением гармонически колеблющейся величины.
Пусть теперь у нас имеется не одно, а два, три и т. д., вообще N,
сосуществующих гармонических колебаний одинаковой частоты:
y1 - a1cos(<At - 9J,
yA - as cos (о>t - yx).
Спрашивается, каково будет у#. Математически
вопрос решается элементарно, но что значит такое суммирование физически?
Разложение на слагаемые неоднозначно. 10 равно 3-1-7, но оно равно также
5-t-5. Что хотят сказать, говоря, что некоторая величина есть сумма двух
гармонических колебаний? В каких случаях имеет смысл такая постановка
вопроса?
Вот прототип подобных случаев. Пусть имеется два источника света. Пусть
первый источник света в отдельности дает поле (колебание) уи второй
источник в отдельности - поле (колебание) у2-Какое поле будет при наличии
обоих источников? Заранее вы ничего не можете об этом сказать. Но
существует такой экспериментальный факт: поле при наличии обоих
источников равно сумме полей, создаваемых каждым источником в
отдельности. Есть и такие случаи, когда складывать колебания нельзя: так
будет всякий раз, когда имеется нелинейность, например при больших
амплитудах в акустике. Вопрос о том, когда можно складывать отдельные
колебания и когда нельзя, - это не математический, а физический вопрос.
у2 = a2 cos2 (Ы - <р).
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
21
Возьмем сначала следующий простой случай: у = А cos wf -н В sin a>t.
Легко видеть, что здесь
у=С cos (a>t - ф),
причем
С=\М2 + ?2, ** = -§.
Перейдем теперь к более общему случаю:
у - ах cos (a>t - <pj) -+- а2 cos (a>t - 92).
Здесь
у = а cos (wf - 9),
причем
а2 = а\ -+- а\ 2а, а2 cos (<рх - <р2),
Ol sin -t- 02 sin (r)о
tor ф = - и i ТА _
° 1 Qj COS 9i -t- 02 COS ?2
(1)
Сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты есть опять
гармоническое колебание той же частоты. Отсюда следует, что сумма любого
числа гармонических колебаний одинаковой частоты также будет
гармоническим колебанием той же частоты.
Первая формула (1) показывает, что амплитуда существенным образом зависит
от фаз складываемых колебаний. В этой формуде заключена, по сути дела,
вся теория интерференционных явлений. В частности, если <рх - <р2 = 0,
