Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
413
Аналогично его средняя по времени кинетическая энергия равна
Интегралы от этих выражений дадут средние по времени потенциальную и
кинетическую энергии для всего стержня.
Если а отлично от нуля, то это значит следующее: стержень прикреплен к
пружине или провод кончается на конденсаторе (рис. 149) и граничное
напряжение стержня уравновешивается упругой силой пружины.
Средняя по времени потенциальная энергия пружины, если пружина находится
на конце лг = 0, равна
В самом деле, р<р' cos (u> t н- s) есть сила, a <р cos (u> t-+- г)-
смещение. В силу граничных условий написанные выше выражения могут быть
представлены в виде
Схема (1) и (2) разрешима не при всяком 1. Предположим, что некоторые л,
удовлетворяющие схеме (1) и (2), отрицательны. Тогда были бы возможны
несинусоидальные движения. Мы докажем, однако, что если существуют
собственные значения, то они все положительны. Доказательство довольно
простое.
Умножим уравнение (1) на (c); это дает:
а если пружина находится на конце х = /, то она равна
I (*Р f) о и
414
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Учтем далее граничные условия. Это дает:
X \q 92 dx = J/>'d2 dx i (a p л- (p p cp2)^
(3)
о
0
Отсюда сразу видно, что все X положительны, так как плотность q (х) и
коэффициент упругости р(х) положительны. Точнее, X всегда положительно,
за исключением того случая, когда а = 0, ^ = 0, <р/ = 0. Тогда правая
часть равна нулю. Это возможно только, если стержень не закреплен на
концах.
Итак, за исключением этого случая, все X положительны,, и процесс состоит
из наложения синусообразных колебаний. Это свойство не только однородных
систем, а общее свойство систем штурм-лиувиллевского типа.
Если а или р отрицательно, то такого заключения сделать нельзя. В случае
пружин а и р положительны. Но если создать условия, при которых а или р
отрицательно, то нельзя быть уверенным и в том, что будут колебания
синусообразного типа. Это связано с вопросом об устойчивости.
Возможно ли, что одному и тому же X соответствуют два решения, т. е. что
при одной и той же частоте существуют различные формы колебаний? Докажем,
что при граничных условиях вида (2) это невозможно.
Линейное однородное уравнение (1) имеет два линейно независимых решения
<рх и <р2, и всякое решение имеет вид
где С1 и С2-постоянные.
Предположим, что при данном X есть два независимых решения,
удовлетворяющих граничным условиям. Но тогда и их сумма удовлетворяет
граничным условиям, так как эти условия линейны и однородны. Таким
образом, если существуют два независимых решения, удовлетворяющих
граничным условиям, то всякое решение им удовлетворяет. Но этого не может
быть. Основная теорема гласит (при тех предположениях о регулярности
уравнения, которые здесь выполняются), что при как угодно заданных а и Ь
всегда существует такое решение, что
т. е. через каждую точку фазовой плоскости (9, 9') проходит одна (и
только одна) интегральная кривая. Граничные условия связы-
9 - Cj г С2 <р2.
9(0) = а, 9'(0) = Ь,
(4)
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
415
вают о и <р\ Если бы всякое решение удовлетворяло граничным условиям (2),
нельзя было бы удовлетворить условиям (4) при любых а и Ъ.
Итак, не может быть двух независимых решений, которые оба удовлетворяли
бы граничным условиям. При данном X (заданной частоте) возможна только
одна форма колебания.
Мы знаем, что в случае однородного стержня, замкнутого в кольцо (рис.
154), для каждого X имеется две независимые формы колебаний, но это не
противоречит только что доказанному утверждению, так как здесь граничные
условия совсем другого типа:
Каждое из них относится к двум значениям х. Этот случай показывает,
однако, что не всегда период определяет форму колебания.
Если для данного X существует единственная собственная функция, то это
собственное значение называют простым или однократным. Таким образом, при
граничных условиях штурм-лиувил-левского типа все собственные значения
однократны.
Что означает физически соотношение (3)? Левая часть его есть средняя по
времени кинетическая энергия, правая - средняя повремени потенциальная
энергия (второй и третий члены правой части представляют собой среднюю по
времени энергию конденсаторов или пружин). При колебаниях такой системы
(стержня) в определенном тоне средняя потенциальная энергия равна средней
кинетической. Это несправедливо для отдельных элементов стержня: в узлах
смещения средняя кинетическая энергия - нуль, средняя потенциальная
энергия велика; в узлах деформации потенциальная энергия равна нулю. Но,
повторяю, для данного тона средняя кинетическая и средняя потенциальная
энергии всей системы в целом равны друг другу.
Сформулируем очень важную теорему, но для частного случая. Пусть концы
закреплены. Тогда, согласно (3),
9 (9) = о (/), 9'(0)
(/)•
j р й'2 dx
(5)
(<? 92 dx
О
Пусть найдена собственная функция для некоторого X. Если X почему-нибудь
нам неизвестно, то можно вычислить эту величину по формуле (5). Это
замечание немногого стоит. Но существует
