Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
начальными условиями?
У1 = /(*),
Я (* = 0).
02 =/(¦*¦)>
Отсюда видно, что разность у1 и z/2 удовлетворяет другим начальным
условиям, а именно:
^х,0) = 0, ^§^- = 0). (16)
Спрашивается, можем ли мы решить уравнение при этих начальных условиях?
Оказывается, что им удовлетворяет только решение, тождественно равное
нулю:
У - У\~ #2 последовательно, если есть два решения, удовлетворяющие всей
схеме (11), то они совпадают, т. е. она имеет только одно решение.
Докажем, что решение, удовлетворяющее схеме (11а), (116) и (16) (с
нулевыми начальными условиями), тождественно равно нулю. Проинтегрируем
соотношение (14) от 0 до t:
tii t
о о о о
При t - 0 имеем у - 0 для всех значений х, а следовательно, н ду/дх=0.
Кроме того, при t = 0 имеем всегда dy/dt = 0. Следовательно, при t = 0
правая часть равна нулю, и мы имеем:
Преобразуем левую часть, пользуясь граничными условиями (116). Получаем:
376
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
и следовательно,
- ар^о- ^Piy? = J [f (I)'-*- |(ЙТ] dx' <17>
о
где все величины уп, уг, ду/дх, dy/dt взяты для момента t.
Мы видим теперь, почему существенны знаки величин зс, (3, р и q. Так как
ос>0, Р>0, слева стоит существенно отрицательная величина, справа стоит
существенно положительная величина. Равенство (17) возможно, только если
Уо = 0, Щ = 0,
и для любого х
^ = 0, ? = о.
дх 9 <)t
Это - единственная возможность удовлетворить схеме (11а), (116) и (16).
Следовательно, у есть константа, а так как для ? = 0 она равняется нулю,
то она есть нуль для любого t, и, следовательно,
Уг~ #2 = 0;
решения ух и у2 совпадают. Способ доказательства единственности,
основанный на составлении разности, является очень общим.
Физически ясно, в чем тут дело: у - некоторое движение, при котором в
начальный момент в стержне нет энергии; с концов энергия не поступает, а
значит, энергии не будет и в последующие моменты времени. Но сейчас
необходимости в этом толковании нет: мы доказали единственность решения
математически.
Мы переходим ко второй проблеме. Каким способом действительно решают
задачу о колебаниях струны, стержня, системы проводов? Есть общий путь,
не зависящий от вида функций р(х) и q(x). Сначала мы пойдем этим общим
путем, не специализируя вида этих функций, а затем рассмотрим частный
случай, когда р и q постоянны. Здесь решение доводится до конца (при не
постоянных параметрах решение доводится до конца лишь в отдельных
случаях). Далее мы снова вернемся к переменным р и q, после того как на
частном случае постоянных р и q выясним ряд фундаментальных свойств,
сохраняющихся и для общего случая. Для последнего мы сможем выяснить все
основные свойства движения.
Существуют два различных способа нахождения функции, удовлетворяющей
волновому дифференциальному уравнению в слу-
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
377
чае постоянных параметров: способ Даламбера и способ Бернулли. Можно,
однако, показать, что они дают одно и то же. Мы воспользуемся способом
Бернулли, который больше подходит для задачи о стоячих волнах и,
невидимому, в общем случае переменных параметров является единственным.
Постараемся найти частное решение вида
*/ = <р(*Ж*)- (18)
В левой части дифференциального уравнения (11а) дифференцирование
производится только по х, в правой части - только по t. Подставляя (18) в
(11а), получаем:
Тх \_р (дс) ё] + (*)=</ to ? to S •
Разделим обе части уравнения на Я to <Р W Ф (t):
1 d ГпП-ЖЖ - 1 ^2ф(/)
q (х) ср (х) dx \_J dx J ф (?) dfi
Теперь заметим следующее: правая часть зависит только от /, левая -
только от х. Но левая и правая части должны быть равны между собой при
любых х и t. Это возможно, только если правая часть не зависит от t, а
левая не зависит от х (если бы при изменении t правая часть менялась, то
ввиду того, что левая часть не меняется, равенство правой и левой частей
было бы невозможно). Таким образом, левая и правая части равны одной и
той же постоянной. Обозначив ее получаем два уравнения:
Чему равна постоянная 1 - здесь безразлично: при всяком ее значении
получается решение.
Мы сделали громадный шаг вперед: вместо одного уравнения в частных
производных мы имеем два: но зато обыкновенных дифференциальных
уравнения.
Граничные условия, не зависят от t. Следовательно, им можно удовлетворить
подбором о (помня о доказанной теореме единственности). Таким образом,
решение задачи сводится к следующему:
1. Решить уравнение
5 = 4. (19)
378
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть вторая
2. Решить уравнение
(20)
при граничных условиях:
при х - 0
(21)
а<Г /
при х - 1.
Уравнение (19) решается просто. Для уравнения же (20) и здесь имеет место
совершенно новая постановка задачи - классическая краевая задача.
До сих пор нам приходилось находить решение дифференциального уравнения
при заданных начальных условиях. Это - задача Коши. Вообще говоря,
"приличное" уравнение имеет для заданных начальных условий одно и только
одно решение: можно отыскать такое <р, чтобы при х=0 было
где а и Ь - заданные постоянные. Но теперь постановка задачи для <р (х) -
