Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве, базис которого образует состояния гРк,)с,т> 'РЕ,-к,т>
оператор С2 может быть приведен только к треугольному виду. Представления
группы Лоренца такого типа рассмотрены Желобенко [348]. Существование
таких представлений в свободном уравнении Дирака связано с его
релятивистской ин-в ариантностью.
§ 5. Динамическая симметрия релятивистской частицы в магнитном поле
Рассмотрим теперь релятивистскую частицу со спином нуль в однородном
магнитном поле. Уравнение, описывающее ее поведение, имеет вид
\w + m2+ pz + (рх ~ eAx)i + - eAvf\ Y = °' (5Л)
9 И. А. Малкин, В. И. Манько 257
2 - (4Л0)
где векторный потенциал А = V, [Н X г], поле Н = (О, О, Н). Ясно, что
определенные выше операторы AiJc (г, к = 2, 3) (см. (7.26) гл. I)
коммутируют с уравнением (5.1) и определяют его группу инвариантности U
(1,1). Используя определения (7.5),
(7.6) гл. I, легко получить спектр энергий:
Е = + [нгсо (2п1 + 1) + т? -f- pi]1'2. (5.2)
Основное состояние pz = 0, п1 = 0 задается формулой
Е°± = (шсо + т2)'\ (5.3)
Следует отметить, что подобный спектр частицы в магнитном поле,
описываемой в рамках теории бесконечномерных релятивистских инвариантных
уравнений, обсуждался в работе [349]. Все рассуждения § 7 гл. I (см.
[359]) полностью переносятся на рассматриваемый случай; функции,
являющиеся решениями уравнения
(5.1) при фиксированном знаке энергии, даются формулами (7.14), (7.15),
(7.17) гл. I (решения с различными знаками энергии отличаются
экспоненциальным множителем ехр (+ iEt)). Поэтому на состояниях
релятивистской заряженной частицы со спином нуль при фиксированных pz и
знаке энергии реализуется одно бесконечномерное представление группы U
(2,1), задаваемое операторами (7.26) гл. I. На состояниях с
фиксированными импульсом рх и энергией Е реализуется одно неприводимое
представление группы инвариантности U (1,1), задаваемое операторами
Казимира (7.28) гл. I.
Гамильтониан, описывающий дираковскую частицу в магнитном поле, имеет вид
Ж = а (р - еА) ¦+ [Вш, (5.4)
где матрицы а, Р - стандартные четырехрядные матрицы.
Следуя работе [350], используем для рассмотрения собственных функций
гамильтониана (5.1) метод квадрирования. Запишем уравнение для волновой
функции в виде
0+УЕ = (Ж - Е) WE = 0. (5.5)
Рассмотрим квадрированное уравнение
0 0+ФЕ = (Ж + Е)(Ж - Е) Фе = 0, (5.6)
которое уже не содержит четырехрядных матриц и приводится
к виду
[Жх + (pi + т?)/2т - соаг/2 - Е2/2т] Фе = 0. (5.7)
Связь между функциями We и Фе обычная:
WE = 0_ФЕ, (5.8)
258
если четырехкомпонентная функция Фе выбрана в виде
Фе = (ф г)'
(5.9)
где - двухкомпонентная функция.
Метод квадрирования уравнения Дирака позволяет по интегралам движения
квадрированного уравнения находить интеграл движения исходного линейного
уравнения. Этот способ легко позволяет находить группы инвариантности
для релятивистских
моделей атома водорода и свободного движения [56]. В матричной форме
оператор 0_ имеет вид
О = ( + °^-еЛ)\ . (5.10)
\а (р - еА) Е- т ) ' '
Операторы
R = а(р - еА); С = Ж - т (5.11)
удовлетворяют соотношениям
R* = Ж* - т2 h Oil
0 Li
ж-
т? - 2 Жт.
(5.12)
Пусть Li = II - интегралы движения квадрированного урав-
м
нения. Тогда интеграл движения линейного уравнения строится с помощью
операторов R и С:
\\RLM-i 0
Li =
0
CL..C-1
(5.13)
Такую конструкцию можно построить, если существуют обратные операторы Л-
1, С-1. Из (5.13) ясно, что коммутационные соотношения операторов Lt
совпадают с коммутационными соотношениями операторов Lt. Легко видеть,
что с уравнением (5.7) комму^ тируют те же операторы, что и с уравнением
(7.1) гл. I. Операторы Ъ и И коммутируют также с линейным уравнением, с
которым коммутирует оператор а (р - еА). С помощью описанного способа
переноса интегралов квадрированного уравнения на линейный случай легко
построить следующие, коммутирующие с гамильтонианом (5.4), операторы:
| ЛбгЯ-1
о
о
Сз.С-1
Мг =
(RMZR-1
о
СМ С-'
Легко убедиться, что выполняется соотношение
+ ^z/2 = ]'z,
(5.14)
(5.15)
где jz - проекция углового момента на направление поля. Операторы
спиральной группы инвариантности (см. (7.23) гл. I) также переносятся на
релятивистский случай для частицы без аномального магнитного момента.
Следует отметить, что интегралы
9* 259
движения, объясняющие двукратное вырождение, строились рй' нее в работе
[350]:
~ RX.R-i 0 II
Xi = . (5.16)
о сх.с-ц к '
Между, операторами ffl\z, Ма и Mb имеется связь:
Шг = Ма - Mb. (5.17)
Спектр энергий, как видно из уравнения (5.7), равен
Е = ± 1та> (2п1 + 1 -2sz) + pi + пг2]1/*. (5.18)
Операторы Ли С обращаются в нуль на одном состоянии с рг = 0, п1 = 0, sz
= V2. При любом фиксированном ненулевом импульсе операторы R, С имеют
обратные. Для состояний с п1 0 существуют обратные операторы Л-1, С-1, и
операторы спиральной группы (5.16) являются генераторами группы SU (2),
коммутирующими с операторами М, Ь, поскольку их можно нормировать, как и
в случае нерелятивистской частицы. Случай пространства состояний с
