Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
д
С)
^=Л(Р)Л(*)( lh а*)+Л(Р)-6(0 + в<Р), (1.5)
где Л(р) определяется аналогично матрице A(t) для случая квадратичного
стационарного гамильтониана Ж (0), а вектор 6(Р) определяется аналогично
вектору 6 (t) для этого же гамильтониана. Таким образом, инварианты (1.3)
получаются последовательным действием двух симплектических неоднородных
преобразований, задаваемых моментами настоящего времени t и "времени" р.
Если ввести обозначения
A (р, t) = А-ЧОА-Чр) А(0; А(0, 0) = /;
6(p, t) = + А-чр)б(р)],
то уравнения (1.4) перепишутся в форме, полностью эквивалентной
уравнениям для функции Грина квадратичной квантовой системы,
рассмотренным в гл. III. Поэтому выражение для матрицы плотности
совпадает с функцией'Грина с учетом введенных обозначений и начального
условия'на матрицу плотности при t - 0. При этом в выражении для
временнощфункции Грина достаточно рделать замерьг Д(?)^"Д(р, ?) и 6 (1)-
>-(>.( Р> !)• В частном случае
115
стационарных квадратичных гамильтонианов матрица плотности совпадает с
функцией Грина квадратичной системы, при этом
сделана замена времени t -" фй и матрица Л(|3) имеет простой
вид.
Используя явное выражение для матрицы плотности, можно подсчитать средние
значения произведений координат (xi'x2''...
Соответствующий интеграл уже вычислялся при рассмотрении функции Грина в
дискретном базисе, и поэтому ответ может быть выражен через полином
Эрмита от N переменных. В случае положительно определенного гамильтониана
справедлива обобщенная теорема Блоха [105, 126], согласно которой в
состоянии термодинамического равновесия функция распределения собственных
значений любой линейной вещественной комбинации операторов обобщенных
координат и импульсов имеет вид распределения Гаусса. Эта теорема была в
одномерном случае доказана Блохом [127] (см. также [128]). Это
утверждение просто вытекает из явного вида матрицы плотности как
экспоненты от квадратичной формы по координатам х и х . Более того,
утверждение остается верным тл для матрицы плотности нестационарной
квадратичной формы, поскольку ее вид также определяется экспонентой от
квадратичной формы. При этом параметры гауссова распределения зависят от
времени. Формула для матрицы плотности в представлении когерентных
состояний также получается из соответствующего выражения для функции
Грина с учетом формул
(1.6). Поскольку матрица плотности имеет простой вид, легко
подсчитывается характеристическая функция являющаяся
производящей функцией для средних значений степеней координат и
импульсов, а также функция Вигнера [129]
w (п, р) = jj р {в + 4г в - -гх' р) ехр (-5F-)dx- (1Л)
Интегралы для этих функций являются гауссовыми и стандартным образом
вычисляются.
§ 2. Функции Грина стационарного уравнения Шредингера
квадратичных квантовых систем
Рассмотрим в настоящем параграфе задачу о нахождении функции Грина
стационарного уравнения Шредингера, отвечающего случаю не зависящего от
времени гамильтониана.
В координатном представлении эта функция Грина G - ядро оператора {Ж -
Е)~х удовлетворяет следующему уравнению:
(Ж ~ E)G(xu х2, Е) = 6(5С! - х2)
(2.1)
являющемуся следствием операторного тождества
(Ж ~ Е)(Ж - Е)-1 = I,
116
(2.2)
записанного в координатном представлении. Гамильтониан Ж действует на
координату хг. Фукция Грина стационарного уравнения Шредингера G(2, 1; Е)
может быть выражена с помощью ряда (или интеграла), если известны
собственные функции 'Fe (в любом представлении) гамильтониана Ж, а
именно:
Здесь (7(2, 1; Е) означает функцию Грина в любом представлении
(координатном, импульсном, представлении когерентных состояний и т. д.),
причем цифры 1 и 2 означают начальные и конечные точки в любом
представлении {хъ х2 - в координатном, plt р2 - в импульсном, а1; а* - в
представлении когерентных состояний).
Действительно, подействуем на выписанный ряд оператором Ж - Е,
действующим на координату 1 в функциях хЕеп (!)• Тогда, поскольку эти
функции являются собственными для гамильтониана
Полученный ряд есть ядро единичного оператора в соответствующем
представлении, поскольку система функций 'Fеп (1) полна. В координатном
представлении имеем
Таким образом, выражение (2.3) действительно является решением уравнения
(2.1). Функция Грина G(2, 1; Е) может быть найдена, если известна
временная функция Грина квантовой системы (7(2, 1; t). Эти функции
связаны соотношением
В соотношении (2.7) подынтегральное выражение может иметь особенности,
которые необходимо принимать во внимание. Часто удобней пользоваться не
формулой (2.7), а получать функцию Грина (7(2, 1; Е) из функции Грина
(7(2, 1; р) уравнения Блоха (см. (2.9) гл. I). Соответствующее
соотношение полностью ана-
П
#ГТЕп(1) = EnYEJi),
(2.4)
мы получаем
(Ж - E)G (2,1; Е) = ^
(Еп-Е) Ч* (2) <ГЕп(1)
п
п
(2)^(1). (2.5)
П
S (Я5а) Теп ("!) - б (Ха - Xi).
П
(2.6)
ос
G (2,1; Е) = -j- G (2,1; t) eiEi'h dt.
(2.7)
О
117
логично (2.7) и имеет вид
оо
(7(2,1гЯ) = § G(2,l; р)еРЕ d|3, ! Rep<0. (2.8)
