Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
комплексно-сопряженными операторами а* = (""0* и (а'*')* =-• ат).
Следовательно, вводя интегралы движения Ж'= = UaU~x и F = Ua^U-1 (если
гамильтониан неэрмйТов, то, во-
обще говоря, F ф А*, но соотношение [A], F^] = 8ж выполняется всегда),
получим уравнения для функции Грина следующего вида:
A (a) G (а*, р, t) = рG (а*, р, t); (5.20а)
F (a) G (а*, р,t) = -j^G (а*, р, t). (5.206)
Физический смысл функции G (а*, Р, t) состоит в том, что величина G
(а*, р, t) ехр [-V, (| а | 2 + | р | 2)] есть амплитуда
перехода из когерентного состояния | р; 0) в когерентное состояние
I а; О-
Преимуществом представления когерентных состояний является то, что в этом
представлении функция Грина не имеет особенностей (функции / (а*) - целые
аналитические функции). Переход к координатному представлению
осуществляется по формуле
G (х2, Xj) = ( <аг21 a) G (а*, Р) <р 15Ci> ехр (|а|2 + | Р |2) d\i (а)
d\i (Р),
(5.21)
где <эг | а) - волновая функция в координатном представлении,
соответствующая кет-вектору | а).
В качестве примера рассмотрим, следуя [104], еще раз квантовую систему с
гамильтонианом (эрмитовым или неэрмитовым), являющимся произвольной
квадратичной формой от операторов д:
3i (0 = Va qB (t) q + С (t) q + Ф (*);
Л ft. (5-22)
Ъо
"-O' c~0' в
TV-мерные векторы c4 и c2 и TV-мерные матрицы bj, f = 1, 2, 3, 4, могут
быть произвольными (достаточно гладкими) функциями времени. Очевидно,
матрицу В можно всегда считать симметричной, т. е. Ьг = Ьг, Ъц = ?>4, Ъ2
- 2>3, где тильда обозначает транспонированную матрицу. Если гамильтониан
эрмитов, то матрица В и вектор С вещественны, но для дальнейшего это
несущественно. Обсудим сначала классическую систему с квадратичным
гамильтонианом (5.22), общей квадратичной формой координат х и импульсов
р. Тогда уравнения Гамильтона - Якоби выглядят,
если ввести 2Л^-мерный столбец q = , следующим образом
(для произвольной классической системы):
(5.23)
Здесь 2 s= I w 1 - матрица размером 27V X 27V, где Ец
-
единичная TV-мерная матрица. Те же уравнения можно записать в координатах
а = (х + ip)/\f2 и а* = (х - ip)//2. Тогда, если ввести 27V-MepHbifi
вектор Y = ( /* )> уравнения
92
Гамильтона - Якоби примут вид
V=P^- гДе Р~|? о| ' <5-24)
Будем искать решение системы уравнений (5.23) в виде (траектория в
фазовом пространстве)
q{t) = A{t)q0 + A{t)] Л (0) = Д; Д(0) = 0. (5.25)
Здесь д0 - начальные координаты точки в фазовом пространстве системы.
Тогда, подставляя (5.25) в (5.23), получим уравнения для матрицы Л (<)
размером 2N X 2N и 2А-мерный вектор Д (t). Они имеют вид
А (0 = 2ВА (t); А (0 = 2 (5 А + (7). (5.26)
Решение уравнений (5.26) дает решение классических уравнений
движения в фазовом пространстве системы с квадратичным гамильтонианом.
Если разрешить соотношения (5.25) и выразить величины д0 через текущие
координаты и время, мы получим функции
д0 (t) = Л (<)<? + Д; А = А-1; Д = - АД, (5.27)
являющиеся классическими интегралами движения. Из сохранения скобок
Пуассона и действительности координат д и д0 вытекает, что матрицы А и Л
принадлежат симплектической группе матриц Sp {2N, В). Каноническим
преобразованием в фазовом пространстве, а именно заменой переменных
д = ид + ц, (5.28)
можно привести гамильтониан Ж к виду без линейных по величинам д' членов:
Ж = Va q'B'g + q> (f); В' = (й"1) Ви\ (5.29)
Вернемся к рассмотрению квантового случая, т. е. будем считать величины д
в гамильтониане (5.22) операторами. Как и в классическом случае,
интегралы движения р0 и д0 выражаются линейно через операторы р и ас:
°-?)-л""+д№ д-(?)• <5-30>
причем 2А^-мерная матрица Л (<) и 2А-мерный вектор Л являются решениями
системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
А = Л25; Л (0) =
А = Л2<7; А (0) = 0; - = {qh (5.31)
?jv - единичная матрица размером N X N. В общем случае матрица А
комплексна, а операторы р0 и д0 неэрмитовы. Однако
93
если гамильтониан эрмитов, то эрмитовы, и йнтёграли;движенйй Ро и q0, так
как в этом случае Ли А вещественны (операторы р и х: при этом выбраны
эрмитовыми). •
Через интегралы движения гамильтониан выражается следующимюбразош ¦ '•
Ж = i/2 qb'Q + C'Q + Ф'; В' = Аг'ВА'1; С' = Л'1^- В А'1 А);
Ф' = V, АВ'А - С А'1 А + Ф. (5.32)
Пусть операторы р и х совпадают с операторами импульса и координат.
Поскольку коммутатор интегралов движения также является
интегралом движения, то [Qj, (ТД = [qj, gj = -
/, к = 1, 2, . . ., 2N. Следовательно, матрица Л является симплек-
тической: Л2Д = 2. Этот результат верен как в квантовой, так и в
классической механике, ибо преобразование (5.30) является каноническим.
Условие симплектичности означает, что det Л = 1, а TV-мерные матрицы
удовлетворяют условиям
Я2Я4 -- Я4Я4 - Я3Я2 - Aft,
X3'ki = Я4Я3; Я4Я4 - Я2Я3 = Ejvi (5.33)
Я4Я2 - ^2^4) Д-1
Я4Я3 '- Я3Я4,
Для функции Грина получаем согласно (5.8) уравнения
д
(- iKk3 -Г Я4эс -Г б2) G (х, Хо, t) - ХоG',
) д О (ГкЗЛ)
(- ЛК + %2х + 6i) G (х, х0, t) = ihfaT G(x, х0, t).
