Оптический производстенный контроль - Малакара Д.
Скачать (прямая ссылка):
Z1n = R1nWem* (А->.2>
где п — степень полинома; I — параметр угловой зависимости, координата р — нормированное радиальное расстояние; 0 — угол с осью у. Тогда очевидно, что |/| — это минимум экспоненты полиномов Zn1 и Rn1. Числа п и / оба илп четные, или нечетные, т. е. п—I всегда четное. Таким образом, имеется [(я+1) (n+2)]/2 линейно независимых полиномов Zn1 степени =??!, один для-каждой пары чисел п н I.
Радиальные полиномы Rnl(р) степени п н минимальной экспоненты [/J являются функциями только от р и удовлетворяют соотношению
R1n = Rn1 = ^n- (А2.3)
Для каждой пары чисел п я |/| имеется радиальный полином R1J lJ^n-й степени, т. е. двум полиномам Цернике Zn1 и Z^1 соответствует один и тот же радиальный полином R^ . Если п — четное, полином симметричен (все экспоненты четные), и наоборот. В табл. А2.1 приведены выражения радиальных полиномов R ,In (р) для |/| SC8, 8.
Для О они могут быть получены из: формулы
RT2m (р)=
4L
S'-
1)'
(B-S)I
s! (m — 5)! (п — т — s)\
S = о
(А 2.4)
384' А2.1. Радиальные полиномы R
W (р) для |/|==?8, и<8
П
Ul 5 0 і 2 3 4 5 в 7 8
0 1 2р2 — 1 6р4_6р2 + 1 20 р6 — 30р4 + + 12р4 — 1 70р8— 140рб + + 90р4 — 20р2 + 1
1 P Зр3 — 2р юр1;— 12рз + зр 35 р 7 — бОр-5 + + ЗОрЗ — 4р
2 P2 4р1 — Зр2 15рб — 20р4 4 Ор2 56рч — IOopG 4 4 G0p4 — 10р2
3 рЗ 5р5_4рЗ 21 р7 — 30р5+ IOp3
4 P4 Gp0 — 5р4 28р8— 42ре 4 15р4
5 P5 7р7 — Gp5
6 P6 8р8_7рб
7 P7
8 P8 А2.2. Представление волнового фронта. Любую функцию (волновой фронт) 'Ч'(р, 8) степени К можно представить в виде линейной комбинации круговых полиномов Цернике
U/(,о, 0) = 2 І CniRy^e"* (А2.5)
її --=0 I=-Ii
si л и по другому, чтобы использовать только реальные- числа в виде [5]:
W/(P, 0) = 2 2 AnmUnm= 2 2 Rn-2mIsm ){п-2т)Ь,
п=0т = 0 ,I = Om = O (cosj
(А2.6)
где sin соответствует п—2ш>0, a cos равен п—Положительное число т определяют как
т =(п —1)(2, (А2.7)
используя то, что (п—I) всегда четное число, а
Иногда прибегают к записи уравнения (А2.6) в виде
k п
W (р, 6)=2 R',,(Cnl COS і8 ^Dnl sin ІЬ), (A2.8)
n=0t=Q
где I принимает значения только с четностью п, а также считают R1n=R^1, Коэффициенты Cni и Dni связаны с коэффициентами А пі соотношениями
с ,и I = Allt (n+i)/2; Dnt г = ЛЛі(я_г)/о. (А2.9)
Если волновой фронт №(р, 6) представлен линейной комбинацией полиномов Цернике, можно перечислить несколько их полезных свойств, упомянутых Рнммером и др. [6] и Борном и Вольфом [1].
1. У осесимметричного волнового фронта только коэффициенты А», пk(n—2m=0) не равны нулю.
2. Полиномы Цернике легко соотнести с классическими аберрациями, что видно из табл. А2.2.
3. Полином tt7(p, 6) обычно определяется обработкой значений в точках методом наименьших квадратов. Следовательно, так как полиномы Цернике орто-
{sin )
I (п — 2пг) 8 cos j
также является наилучшей аппроксимацией данных методом наименьших квадратов. Таким образом, для предотвращения сдвига фокуса или наклона волнового фоонта требуется только, чтобы соответствующие коэффициенты Anm были равны нулю. Среднее значение каждой аберрации определяется значением соответствующего члена, и при этом не требуется проводить новую аппроксимацию по способу наименьших квадратов.
Если определить вариацию, или «среднюю квадратическую деформацию», Г' волнового фронта как
1 2г
I' f W% рd prfe 1 2г.
V = -=JL j* ^ W2 9d ?db, (А2.10)
I \ pd prfe o о
0 0
386' А2.2. Полиномы Цернике Unm до четвертой степени
п т п—2т Полином Цернике Представление одночлена Значение
0 0 0 1 1 Константа
1 0 і р Sin 0 X Наклон в направлении х
1 —і р COS 0 У Наклон в направлении у
0 2 P2 sin 20 2 ху Астигматизм с осью под углом ±45°
2 1 0 (2р2— 1) — 1 + 2г/2 + 2x2 Смещение фокуса
2 —2 р- COS 20 У2 — х2 Астигматизм с осью под углом 0 или 90°
0 3 рЗ Sin 30 Зху- — X3 —
1 1 (Зр3 — 2р) sia 0 — 2х + Sxy 2 -f- Кома третьего по-
э + Зх3 рядка вдоль оси х
о 2 — 1 (Зрз — 2р) cos 0 -2у+ЗуЗ + + 3 X^y Кома третьего по-
рядка вдоль оси у
3 —3 P3 cos 30 у3 — 3 х2у —
0 4 P4 sin 40 4 г/3 je — 4 Х3у —
1 2 (4р4 —Зр2) sin 20 — 6 ху + Sy3X + —
+ 8x3у
2 0 6р4 —6р2 + 1 1 — 6г/2 — 6x2 + Сферическая абер-
4 + 6 г/4 + \2х2у2 + рация третьего по-
+ 6x1 рядка
3 —2 (4р4 _ Зр2) COS 20 — Sy2 4 3x2 + _
+ 4г/4 _ 4x2у-г _ — 4x4
4 —4 P4 cos 40 г/4 — Ьх2у2 + X4 —
то, используя свойство ортогональностн полиномов Цернике, получим
k п
I7 = V V-^— A2nm, (А2.11)
jU jU 2 («+ 1) пт
n = Q ITt=O
где Ёпт = 2 для 2т=п и Bnm = I для 2тфп, среднее квадратичное отклонение поверхности, очевидно, определяется величиной V!/2.
Интересно также вычислить нормированную интенсивность в фокусе Гаусса, или «интенсивность ІІІтреля», которая приближенно определяется (предполагая, что 1/1/2-сХ/5) выражением
/ = 1 -—(2л/).)2 Vr. (А2.12)
Отсюда очевидно еще одно преимущество представления волнового фронта с помощью полиномов Цернике, причем на этот раз для решения проблемы вза-
