Статьи и речи - Максвелл Дж.К.
Скачать (прямая ссылка):
электростатики Максвелла, внося значительный вклад в обоснование ряда
проблем ее. Мы вкратце остановимся лишь на некоторых из них.
Глубокая связь электростатики и теории потенциала, возникшая после
открытия закона Кулона, оказалась плодотворной для обеих сторон;
электростатика получила математический аппарат и методы, сложившиеся в
теории притяжения, а сама эта теория, благодаря специфике проблем
электростатики, обогатилась новыми задачами, новыми методами. Можно без
преувеличения сказать, что начиная с работ Пуассона и Грина и кончая
работами Ляпунова и Стеклова, все важнейшие исследования по теории
потенциала прямо или косвенно были связаны с задачами электростатики.
Уже первые электростатические опыты Кулона (1786) позволили принципиально
правильно поставить первую краевую задачу для уравнения Лапласа и
стимулировали исследования Пуассона по решению этой задачи для сферы.
Теорема Пуассона о разрыве нормальной производной потенциала простого
слоя (1811) также была предвосхищена опытами Кулопа.
Исследования Грина, приведшие к его знаменитым формулам и к так
называемому методу функций Грина, были предприняты в связи с решением
чисто электростатической задачи об отыскании связи между "потенциальной
функцией" объемных зарядов и соответствующей ей плотностью распределения
электричества на поверхности проводника.
Метод электрических изображений В. Томсона обязан своим происхождением
поискам путей, направленных на преодоление трудностей, встретившихся при
рассмотрении некоторых задач электростатики, относящихся к сферическим
проводникам'.
Исследования Гаусса, Томсона, Дирихле и Римана, связанные с проблемами
существования и единственности, возникли вместе с постановкой краевых
задач и, таким образом, их генетическая связь с электростатикой очевидна.
Эти проблемы были в сфере интересов Максвелла. Последующее пх развитие
привело к замкнутости теории в целом.
Метод арифметических средних К. Неймана был первым общим методом решения
краевых задач теории потенциала, применимым ко всем достаточно гладким
выпуклым поверхностям; потребностями электростатики были вызваны и
исследования Неймана, связанные с распространением метода арифметических
средних на поверхности, обремененные плоскими частями, ребрами и угловыми
точками 2. Примерно к тому же времени относятся и исследования Робэна о
распределении электричества на проводниках, при-
1 См.: М. Г. Ш р а е р. Учение о потенциале в работах В. Томсона. "Труды
Института истории естествознания и техники", т. 34. М., 1960. стр. 103-
109.
2 См.: М. Г. III р а е р. К истории математических методов электростатики
во второй половине XIX в. "Вопросы истории естествознания и техники". М.,
изд-во "Наука", 1964, вып. 17, стр. 76-82.
383
ведшие к так называемому методу Робэнк. Значение методов Неймана и Робэна
состоит в том, что они не только устанавливали существование решения
краевых задач теории потенциала, но i давали конструкцию, алгоритм самих
этих решений. Поэтому они оказались в центре внимания всех исследований
по теории потенциала последней трети XIX в. Эти исследования
предпринимались с целью распространения методов Неймана и Робэна на класс
поверхностей, более широкий, чем выпуклые, ибо выпуклые поверхности не
удовлетворяли требованиям математической общности и, главное,
представляли собой класс поверхностей, слишком узкий с точки зрения
приложений теории потенциала, в частности приложений к электростатике.
С именем Анри Пуанкаре связан важный этап истории теории потенциала,
лежащий на стыке классического направления этой теории, идущего от Грина
и Гаусса, и нового теоретико-множественного и теоретико-функционального
направления в математике. Три больших мемуара Пуанкаре *, появившиеся
один вслед за другим на протяжении короткого отрезка времени, сыграли
благодаря богатству содержащихся в них новых идей выдающуюся роль и
оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории потенциала и
математической физике в целом.
Пуанкаре был одним из творцов метода, известного под именем "метода
Шварца - Пуанкаре", с помощью которого ему удалось установить
существование и свойства решений широкого класса краевых задач
математической физики. Идеи, лежащие в основе этого метода, проложили
путь к распространению методов Неймана и Робэна на все поверхности
Ляпунова. Пуанкаре принадлежит открытие так называемого метода
фундаментальных функций, обобщающего классические методы решения частных
задач теории потенциала с помощью специальных функций, и, наконец,
открытие замечательного метода доказательства существования решения
первой краевой задачи (задачи Дирихле), свободного от ограничений,
связанных с выпуклостью рассматриваемой поверхности. Речь идет о методе,
названном самим автором "методом выметания" ("methode de balayage") и
опубликованного в первом из указанных мемуаров.
Метод выметания явил собой пример поразительного сочетания математических
и физических идей, какой история теории потенциала уже имела в работах
