Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
быть заимствованы наиболее важные результаты: незначительное влияние
дефектов на состояния в ветвях фононпого спектра; появление
локализованных состояний между акустическими и оптическими ветвями и над
оптическими ветвями и возможность резонансных состояний внутри ветвей.
Рассматриваем прежде всего возникновение локализованных состояний на
простом примере линейной бесконечной Цепочки идентичных шариков (с массой
М) на одинаковом расстоянии а, связанных пружинами с жесткостью / (ср. ч.
I, рис. 43, а). Тем самым мы состыковываемся с обсуждением в ч. I, § 30.
Для невозмущенной цепочки из (ч. 1.30.18) находим для частотного спектра:
со
(?) = 2 ^^Isin-y-l = ю0 sin-у-]. (2.18)
Здесь введена верхняя граничная частота ю0 = 2 У//Д/.
¦ Предполагаем теперь, что шарик с номером п = 0 имеет слегка отличную от
М массу М0 = М( 1 -е). (е может быть как положительным, так и
отрицательным.) Имеем тогда, вместо (ч. 1.30.15), уравнения движения:
MqSq - / (Sj + 2sq),
Msn - f (sn_|_i -j- sл - j 2s"), n 0"
(2.19)
Используя временную зависимость sn 00 exp(-mt), можно привести их к виду
' . -
s0 - 0,
(2.20)
sn+i + $n-i + ^"^2-- 2= 0, пф 0.
Для зависимости смещений от п выбираем выражение .
sn=AKn+BK~n. (2.21)
s 16. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
83
Подстановка этого выражения в (2.20) дает следующее секулярное уравнение
для Я:
.Я2+ 14- (^--2)я = 0. - (2.22)
Для неискаженной решетки возможны^ лишь решения с <в < он. Тогда Я
становится комплексным. Если^аписать Я в виде ехр (га), находим, что
решения уравнения движения, представляют собой плоские волны с частотами
", связанными посредством (2.18) с а - да.
Для возмущенной цепочки ограничиваемся также сначала областью о < (c)о.
Всегда можно построить общее решение из двух стоячих волн:
одной'симметричной (sn = s-n), а другой антисимметричной (s" - -s-n). Во
втором случае возмущающий атом при п = О покоится. Эта часть не
изменяется возмущением. Рассматриваем, следовательно, решения с sn = s-n.
Для них можно записать
sn =А sx${iqa\n\)-\-В &x${^iqa\n\). (2.23)
Первое.из уравнений (2.20) принимает тогда вид А ехр (iqa) -f- В ехр (-
iqa)
А В +
2 ш2 <
(1 - е) - 1
= 0. (2.24)
Легко можно показать, что при е = 0 (невозмущенная цепочка) А=В. Для
возмущенной цепочки полагаем
А = ~ ехр (- г'б), В = -у ехр(гб). (2.25)
Из (2.23) и (2.24) получаем следующие уравнения: _
sn = Ceos (| п | qa - б) и tg6 = etg-y-. (2.26)
Это означает лишь незначительное изменение по сравнению с решениями для
невозмущенной цепочки.
Важнее то, что теперь возможны решения для о > о)". Тогда Я действительно
и отрицательно! Одно из двух действительных решений (2.22) меньше
единицы, другое (обратная величина) больше единицы. Оба дают одинаковый
результат при перестановке А и В. Можно, следовательно, ограничиться
одним решением и выбрать в качестве него (отрицательное) Я с IЯi < 1.
Теперь необходимо проводить различие между двумя случаями п> 0 и п< 0 в
(2.21). В каждом из этих случаев один из двух членов расходится при Ы <".
Соответствующая амплитуда должна тогда обращаться в нуль. Полагаем
sn=Akn для п>0, sn = BK~n для га<0 (|Я|<1). (2.27)'
84
ГЛ. 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ. СОСТОЯНИЯ
Если исключить смещение sa-из .двух уравнений (2.20) с л = 1 л га = -1,
остается соотношение между смещениями s2, su s_t, s_2. Если использовать
в этом соотношении выражения (2.27), то найдем, что амплитуды А я В в
(2.27) должны быть равны. Если затем Подставить (2.27) в первое из
уравнений (2.20), то получим
Это есть соотношение между К, о> и е. Частота о может быть исключена с
помощью (2.22). Тогда
Это решение описывает колебание, в котором соседние шарики колеблются в
противоположных направлениях (рис. 24). Смещения убывают с увеличением Ы.
Колебание является локализованным!
Здесь следует обратить внимание на наше предположение, что X отрицательно
и Ш < 1. Согласно (2.30) это означает, что решение существует в области о
> о)0, только если е положительно и меньше единицы. Локализованные
колебательные состояния возможны только тогда, когда масса Ма
возмущающего атома меньше массы М атома решетки.
Хотя этот одномерный пример и не применим во всех отношениях к
трехмерному случаю, он показывает наиболее важные свойства локализованных
колебаний решетки. Самый верхний уровень о = о)0 невозмущенного спектра
расщепляется возмущением и сдвигается с увеличением е= (М - Мй)!М в
сторону более высоких частот; колебание, которое в невозмущенном спектре
является делокализованной плоской волной, становится локализованным.
Тот же самый результат можно получить другим путем, который легко можно
обобщить применительно к трехмерному случаю. Предполагая sn <" ехр(-iat),
записываем (2.19) в виде -
2Х + #1(1 -е)^ 2 = 0.
от
о
(2.28)
(X - 1)[2 _ A_J_(1 _е)] = 0,
(2.29)
или, поскольку А. =тМ,
(2.30)
Подстановка этого решения в (2.27) и (2.22) дает
(2.31)
-о?Msn - f(sn+l + s"_i - 2 sn) - -Meo)2s06"0 = Fn. (2.32)'
*Это уравнение может быть прочитано как уравнение движения для
