Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Видна, однако, и концентрация распределения электронов вокруг ионов
решетки, которая обнаруживает примешивание ионных состояний. В такой
общей связи могут быть определены ковалентная и ионная составляющие,
рассчитан эффективный ионный заряд е*. В этом примере соответствие между
типом связи и зонной моделью, а также основные моменты отличия очевидны.
§ 5. Диэлектрическая теория ковалентной связи
Рассмотрим еще раз проблему химической связи, но с другой точки зрения.
Считаем при этом решетку каркасом положительно заряженных ионов и ставим
вопрос о tosi, как совокупность валентных электронов экранирует заряды
ионов.
В случае металла можно рассматривать валентные электроны, как газ
свободных электронов. Мы уже рассматривали экранирование возмущающего
потенциала F"(r,'t) в ч.-I, '§ 13. Дам было
§ 5. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОВАЛЕНТНОЙ СВЯЗИ
33
Рис. 6. Распределение электронов в пяти группах подзон в валентной зоне
GaSe (а ~ д) и распределение всех валентных электронов (е). [По Шлютеру
(Nuovo Cim., 1973, v. 13В, p. 313).]
34
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
установлено, что экранированный потенциал У (г, t) определяется из У"(г,
t) делением на зависящую от волнового вектора и частоты диэлектрическую
проницаемость e(q, со). Мы также получили уравнение Линдхарда (ч.
1.13.12) для e(q, со). Согласно (ч. 1.13.19) статический потенциал иона
решетки У4 = -Ze2/r в предельном случае малых q экспоненциально
экранируется в соответствии с вависимостью e(q) = 1 + K2/q2. Таким
образом,
к ("¦) - - Ц-nTi-Яг). T(q) - - ' ,
' ' +1 (1М)
^ 2 ТЬ
% =_ё7'
Важнейший результат экранирования состоит в том, что фурье-об-раз V(q)
потенциала не является более сингулярным в пределе q~* 0 [сингулярности
F, (q) и e(q) взаимно уничтожаются].
Иными являются соотношения в изоляторе (полупроводнике), где электронный
газ полностью заполняет валентную зону. Заполненные состояния отделены в
этом случае от незаполненных энергетической щелью. Далее будет показано,
что в этом случае е (q) остается конечной при q 0. Это приводит лишь к
неполному экранированию ионов.
Зависящую от q диэлектрическую проницаемость можно получить из равенства
e(q) = 1 - ^ 2 I <k I ехР (*Ч • г) I k + q + Km> |2 X
п к,К
v f° + q + Kg|) ~ f° (k) /I РП Х ?(k+q + Km)-?(k)'
где /о - распределение Ферми, Кт - вектор обратной решетки, |к> -
волновые функции рассматриваемых состояний зоны. Равенство (1.31)
является обобщением уравнения Линдхарда (ч. 1.13.12). Если в матричный
элемент подставить в качестве волновых функций плоские волны, то получим
в точности (ч. 1.13.12), только в рассматриваемом здесь предельном случае
ю = 0. Мы не будем выводить (1.31). С этой целью можно обратиться,
например, к книге Займана [23], в которой дан также другой вывод
приведенного ниже соотношения (1.35).
Для того чтобы теснее привязаться к случаю свободного электронного газа,
используем для описания полупроводника так называемую модель Пенна.
Вспомним результаты модели почти свободных Электронов из ч. I., § 19.
Энергия свободного электрона вблизи поверхности зоны Бриллюэна следует из
секулярного детерминанта
§ 5. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОВАЛЕНТНОЙ СВЯЗИ
35
вида [ср. (ч. 1.19.6)].
2т
- Е (к)
о.
(1.32)
На поверхности [определяемой условием &2 = (к - Km)2] Е испытывает скачок
на величину Еа = 21V (Km) I2.
Этот результат был выведен в ч. I, § 19 для одномерного случая. В модели
Пенна трехмерный изотропный случай рассматривается так: в качестве "зоны
Бриллюэна" рассматривают сферу радиуса кг и считают справедливым
детерминантное уравнение (1.32) для каждого направления к. Тогда Кт
заменяется на 2kv(k/k). Энергия становится функцией только к. Разрешая
детерминант, получаем
Е± - 4 {?(**+*") ± Я^'Л|
(1.33)
k' = kl-TF
Эта "зонная структура" иллюстрируется на рис. 7. Соответствующие волновые
функции, согласно (ч. 1.19.2), строятся из двух членов (плоских волн с
волновыми векторами к и к' = к -Кт):
Ф± = -у ¦ [ехр (ik-r) + а± ехр (гк'-г)],
/Г
¦ а;
¦±
а±
Ев12
(1.34)
Е,
%2к'2
2т
Формулы (1.33) и (1.34) можно использовать для оценки (1.31). В качестве
приближенного решения находим в предельном случае
е(0)
i + lb'b.
W \2 t,G
А = 1-Щ + 4(^1 (4-35)
где (Ор - введенная ранее плазменная частота: (0р = (4ятгеа//п)1/2" Для
фурье-образа потенциала и, тем самым, для самого потен-. циала, имеем
lim V (q) =* - 2, или V (г) =
ч-*0 vge (0) q
Ze*
8 (0) Г
для больших г. (1.36)
Это - потенциал иона с эффективным зарядом Ze/e(0). 3*
36
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
. Если кристалл строится из экранированных таким образом ионов, то
следует вдести дополнительные отрицательные заряды для экранирования
остающегося остаточного заряда и, тем самым, для поддержания
нейтральности кристалла в целом. Диэлектрическая теория ковалентной связи
постулирует, что эти экранирующие заряды содержатся в локализованных
связях. Наряду с экранированными ионами вводятся поэтому заряды связей,
которые обычно принимают сконцентрированными в точке посередине линии,
