Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
паС = s nai$ nai (что всегда возможно в силу вещественности s"ai),
получим
Ekl"=W ? 2 ^ {q) е"( {q) е'*'*п? (д'} ^ {Q,) e~iq' Rn¦ (УИЛ)
nai jq j'q'
Из (31.3) и (31.6) следует, что суммирование по я и a, i дает NA(q-q') н
6у7'. Полагая q'-q и выполняя суммирование по /', получим выражение для
кинетической энергии в (31.7). Подставим (31.2) в потенциальную энергию
гамильтониана (31.1), положив = sn'a'i'' получим
?pot=
-я 2 уть'<s"' 2
nai iqi'q'
n'a'l'
394
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
Выполняя суммирование по л и п', получим
S-
* У МаМа'
-S
^?Умама.
= N Aiq-q^DZi1' (q'), (VII.3)
где мы воспользовались (31.3) и (30.11).
Подставляя (VI 1.3) в (VII.2) и выполняя суммирование по q' и а', V,
получим, используя (30.12),
?pot W Qb (9) (Я) е(Л] (q) e(d? (<?)• (VII.4)
ai H'q
Суммирование по a, i дает, в согласии с (31.6), множитель б//", в
результате после суммирования по /' получаем потенциальную энергию в
гамильтониане (31.7).
VIII. К § 38
1. Оператор Гамильтона обменного взаимодействия (38.2) был впервые
введен Дираком (Дирак П. А. Принципы квантовой механики.-М.: Физмат-гиз,
I960, с. 309).
Основные понятии матричной алгебры, свойства углового (вращательного)
момента, матрицы Паули можно найти в книге: Шифф J1. Квантовая механика.-
М.: ИЛ, 1957, гл. VI, раздел 24.
Записывая спиновые функции в виде а= столбцовых матриц, получим
и Р =
, т. е. в виде одно-
1 1 0 1 I 1
2 0 -1 0 ~ 2 0
1
и аналогично другие равенства (38.5).
Получим еще, к примеру, второе равенство в (38.6):
S + Р = (Sx + iSy) Р =
0 1 1 0
+т
0 - i
1 о
- 1 о
2. Оператор Гамильтона (38.10) перепишем в виде
H=-J^sr S[+6=-J^l s'sf+e+Y {stsT+й+STSt+й) ). i, 6 i, 6
где мы для удобства записи обозначили S/z^S* и S;± = Sf. Очевидно, что
S?a>0 = s<I>0 и 5]"Ф0 = 0 для всех ?; поэтому
//Ф0=_у? 52г5?+вФ0- (ST+6S^ + SlS^ фо = " JNvs*<bt,
l. б
l. б
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
395
где мы воспользовались тем, что StSi+e = S(+&S[ (любые операторы S + , S-
, Se коммутируют друг с другом, если они относятся к разным узлам
решетки). Применим теперь Н к возбужденному состоянию Фт = Sm0":
HOm = -J ? SZiSZl+6SmOo-Y ? (ST+6StSm + STSt+6Sm) Ф0. (VIII.I) i, 6 i, 6
Если тф i н m Ф t + б, то первая сумма в (VIII.I) равна Nvs2(bm, если
пренебречь числом узлов v по сравнению с N; еслн m=i илн m = i + 6, то
эта же сумма равна
2 (r)о =
б в
= ^ Sm+б {SmSm-Sm) Фо 2 ^ {SmSm - Sm) Фq 2\'52Ф№ - 2vsODт,
в б
где мы использовали перестановочное соотношение [^, Sm] = S/n-
Пренебрегая первым слагаемым 2vs2Om по сравнению с Nvs2<bm, получим
-J X SZiSzi+6S^0 = -JNys^m + 2Js'^lOm, (VIII.2)
t. б б
так как \Фт = 2 (r)я""
Первое слагаемое во второй сумме (VIII.I) отлично от нуля, только еслн
i - m; в этом случае
^ Sm+ftSmSmФп= У Sm+6 Ч~ SmSm) Фр = 2s ^ Фт+а. (VIII.3)
б б б
Аналогично второе слагаемое во второй сумме в (VIII.I) равно 2s^(r)m_e =
б
= 2s2(r)m+6: отсюда и из (VIII.3) и (VIII.2) получим (38.13).
б
Используя (38.13), определим 7/ф = Н 2 eik Rm<Dm =2 eikRmH<bm =
= ?0Ф + 2/стФ-2Ув22е<*,*"ф"+6-
т б
Заменим в последнем слагаемом правой части суммирование по /п
суммированием по /л' = /л + 8; тогда
2 2 е'*-*-Ф"+л = 2 2 е1к-"т'Фт, =
т б т* 6
=2е_,/г /?б2е,*'*т'ф'п'=2е_** *б ф* i т' О
396
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
Таким образом,
НФ =
Ф,
что совпадает с (38.14).
Для простои кубической решетки с ребром куба, равным а,
±_Yie-ik'Rb=^(eikxa + e-ikxa + eikya+e-lkya+eik*a+e-ik-a) =
6
=-^- (cos (kxa) -\-cos (kya)-\-cos (kza)),
где мы направили оси координат по ребрам элементарного куба. Отсюда и из
(38.16) следует:
(cos (^a) + cos (feya) + cos (kza)) j . (VIII.4)
Ek = E0+l2Js Для малых k (ka<^. 1)
' 3
что совпадает с (38.17).
3. Покажем, как получается, например, первое уравнение (38.18). Из
'определения операторов S, S+ и 5_ следует, что
52=i(5 + 5_+5_5+) + 5|. (VIII.5)
В представлении, в котором S2 и S диагоиальиы,
S*|s*> = s*|s*>, S2 | szy = s (s+ 1) [ szy, (VIII.6)
где [ sz>-собственный вектор (функция) операторов Sz и S2.
Подействуем оператором 5+ на первое уравнение (VIII.6):
5+5г| s^> = sz5+|s^>. (VIII.7)
Мы видели, что коммутатор
S + ] = SZS+-S+Sz - S + .
Подставим это выражение в (VIII.7), получим
+ - S+) | szy = (Sz- 1) S+ | szy = szS+ | szy.
Из последнего равенства следует, что
$z (5 + I sz>) = (sz + 1) (S + I sz>) •
Мы видим, что S+ | szy-собственный вектор оператора Sz, относящийся к
собственному значению s^+l; так как этот вектор (в противоположность
собственному вектору | szy) не нормирован, то
CS+ |sz> = |s*+l>, (VIII.8)
где С-нормировочная константа, а |sz+l>-нормированный собственный вектор
оператора Sz, относящийся к собственному значению
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА 397
Определим С из условия нормировки:
j С [2 <5+5г | S+szy = 1,
или
| С (2 <5_5+s, | sz> = 1, (VIII.9)
так как (S+)+=S_ *).
Мы имели
S+S_ -S_S + = 25г.
Отсюда и из (VII 1.5) следует:
S_S+ = 52-Si-Sz.
Подставляя это выражение в (VII 1.9), получим
| С |* "St-Sl-Sjs; | 5г> = | С|* [s (s + I)-4-sj <*г I ",> = 1.
