Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1)
Величину W2 можно назвать потенциальной энергией в ^^-конфигурации при
"мертвых" в ^-конфигурации силах. Напомним, что 8 в (11) -линейный тензор
деформации над вектором w в Rj-базисе
8 = -?;- (Vw + VwT). (12)
В представление Ц72 может быть включено слагаемое
- pkwdH - fx-wdO, (13)
V о,
где k, fx - массовая и поверхностная силы, отсутствовавшие в ^-
конфигурации.
В векторном базисе главных направлений es тензоров F и Т инварианты ^(F^-
e) представляются через диагональные компоненты ss тензора е в этом
базисе
1г(F^-e) = 'Bmkemeh = 2 vf&s (e" = ej.
stnk s= 1
334
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Квадратичной форме в квадратных скобках (11) придается вид
2 3'
S2Wi(F^e)/,(Fr.8)= 2 2 ^гЛГУ* =
NT N, Г=0 s, к=\
3 3
~ 2 2 askesBk-s= 1 fe= 1
Имеем
12 2 Ij
a
sk'
~-aks- 2 2 ^A/rusJVl,ftr - +
jV = 0 r=o
[ + ^01 (ys+yl) + ^02 K + ^l) + ^12 (vsvk~\'vsvk)- (14)
Вспомнив определение~величин
a/3i3 + a/l 3' ¦ 11 1a/i3/.+ 1Э/Г
ft = -
22 л,2 "
01 2
a - / , i г _^L_ a - - / га2э
V01 'i3f Д/ I" 1 3 A T ' . 02 *8
••dhd/,^ 11Isdi2di3' u"2 "За/2а/3
q <Рэ r а2э
получаем
+
Vs Vk
dhdl
3UJ1 \ V.
д2э (4+4-)+~&4'4}- (is)
V Vs Vk J dl3 vs Vk I
Продолжая преобразование, введем в рассмотрение производные э по
переменным и|
дэ дэ , п дэ . 1а дэ
Они явно зависят от инвариантов и от v\ для t^s. Поэтому д дэ д2э д2э 0 .
j 2\ д2э ,, 2. д2э ,
dvI до! ~ (dvl)2 ~~dlf + ( 1 ^ dhdl 2 + (7l _ У$) ^7F +
J.O// _и* A J2.J-9 А_Ё?_ I (hV^L Z (IJ Djj I JI 31 Т' 2 31 3J "Г ( 2 ) э
2 >
Ds 0/20/3 ys 013°'1 \ 0S / д/3
так что
се)
ПРИНЦИПЫ СТАЦИОНАРНОСТИ В ^эх-КОНФИГУРАЦИИ
335
При вычислении смешанных вторых производных следует учесть, что
Л (/.-<#=1,
dvk
д /я
/"
и поэтому
ask = vlvl- -J-*
UVfaUVi
з 2 2 2 2
dvk vs vs vk
дгэ
{$Ф k).
(17)
Квадратичная форма (11) может быть теперь представлена в виде
'¦ж'.И + зя/ЩР'е)*)
+
J'
причем ask определяются по формулам (14), (15) или (16), (17). Еще одно
их представление - следствие соотношения
Л
Из него получаем
ask = vp\-2
д2э
дэ Jull дэ _1_ /з дэ
W + (I'-v*>dr + -?dTa.
У /3 /"2
dvsdvk
, да.
a.
2 \Vitfk+2a4>
s dv! 2
+ vt> VD
(19)
(20)
Тождественность представлений (19) легко проверяется. В (20) принято
обозначение
~ / 2 2 2\ 2 , ( дэ . , дэ п г дэ
Н-Лу1> у2, Уз)- '1Гг~2Us57^
А
В натуральной конфигурации р(1, 1, 1) = р по (4.7.12).
(21)
§ 3. Принципы стационарности в ^эх-конфигурации
Представим в соответствии с (2.7), (2.13) вторую вариацию потенциальной
энергии функционалом над w вида
W2 - ^5$ УdV - JSS Pk'w^ 'w^О-
V V о,
(1)
33 f>
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ- 8
Его вариация (варьируется w) по (2.9) определяется выражением
= J 0 • • SVwT dV - 5 S S pk- 6wdV - 5 5 fx • SwdO
V V 0,
и по (III.3.10) преобразуется к виду
SWt = - 555 (V-0 + pk)-6wc/E+ 555 V-(B-6w)dK -
г vJ
- 55 fx-fiwdO = - JJJ(V-e + pk)-6wdV-f
(Д 1/
-f 5 5 (N • 0 - fx)*Sw dO +5 S N • B - 6w dO. (2)
Ol 02
На части поверхности 02 в ^-конфигурации задавалось перемещение w и на 02
по (1.4) в ^эх-конфигурации 8w--=0. По
(1.17) приходим к принципу стационарности потенциальной энергии W 2 в
'Реконфигурации
61К2 = 0. (3)
Конечно, верно обратное -в (2) заключены уравнения (1.17) в К и на 0г и
требование равенства w его значению (1.4) на 02.
Однородная краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений
(1.17) может иметь нетривиальные (отличные от нуля) решения для w при
некоторых значениях параметров нагружения в ^-конфигурации, входящих в
представление В. Равновесие в ^-конфигурации в этом случае называется
нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными).
Сказанное здесь связывается с задачей устойчивости равновесия;
разъяснению ее содержания уделено место в §§ 10-25 этой главы.
о
В системах уравнений (2.10), линейных относительно Vw,
Vw, квадратичные формы Ф и ? представляют производящие
о
функции преобразований Vw-> Р, Vw-->B.
о
Обратные преобразования Р->Vw, В - >Vw осуществляются квадратичными
формами от Р и В
Фх (Р) = Р- -VwT(P) -Ф (v (w(P)) , (4)
?Х(В) =В--VwT (B)-?(Vw(B)).
о
В них Vw(P), Vw (В) - решения систем линейных уравнений (2.10). По
свойству преобразования Лежандра они представимы в виде
Vw(P) = (Фх)р , Vw(B)-(^x)0. (5)
s j) ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 33?
Следствием этих соотношений является принцип стационарности
дополнительной работы -равенство нулю вариации функционала
W%x = $$S'Fx(e)dV-$Sw-fxdO (6)
V 02
для всех напряженных состояний, удовлетворяющих уравнениям
(1.17) в объеме и на части поверхности О., на которой заданы силы.
Для этих состояний
в V: V-60 - 0; на О.z\ N-60-=6fx; на 0,: 6fx = N-60=O. (7)
Действительно, по (4) и (2.10) бЦДх 5§'^wT((r))~f (r) ¦ ' ^VwT-0- ¦ b\wT)dV-5
5 w- 6fxd0=-
I' о2
= 555 [V • (60- w) - (V- 60) • w]dF- J J w- 6fxdO ==
V 02
= - 5S5 (v-6(c))-wdF+55(N-60-6fx).wdO +S5N-60.wdO=O,
У 02 0,
как следует из определений (7) статически возможных состояний.
§ 4. Малая деформация гидростатического напряженного состояния
