Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
получена вне всякой связи с потенциальной энергией деформации, для
"упругого", не обязательно "гиперупругого" материала. Конечно, повторив
ход вывода уравнения (3.5.8), можно прийти и к формуле (4) для "упругого"
материала. Но в гиперупругом материале функции фг связаны
дифференциальными соотношениями •
-щ + / А) = - §7? . ^ + 1 ^ - 1/Г '
3 di., ~ а/, ' w
получаемыми исключением потенциала э из формул (5), аналогично (II.7.18).
Представление уравнения состояния через меру Альманзи можно, конечно,
получить по (II.3.7), (1.9), (2)
Т=2|/|F.9f = -2 /-f-Vg.
Получаем
Т=2 (ф0Е + -f ф^2) (7)
§3]
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
109
г, дэ
и в соответствии с (5)
-(ж+,'ж)- "-?' "-''torn
Конечно, фг связаны дифференциальными соотношениями вида (6).
Главные направления тензоров Т и F совпадают, как это следует из
уравнения состояния (4). Их главные значения связаны соотношениями
2 V ¦§¦ =vf
г=о
(9)
(fe=l, 2, 3).
Здесь ak-главные напряжения и по (1.4.10), (1.5.7)
vl = Gk = Fk^(\ + bky
(10)
- главные значения меры деформации Фингера и Коши - Грина. Коэффициенты
фг также выражаются через vf, v\, v\ при посредстве инвариантов
/i(F)=t)? + yl + t)l, I2(F) = vlvl + vtvt + vlvl Is(F)=vlvlvl (11)
Главные силы, определяемые по (2.2.25), задаются формулами
и
тГЪ п -
. СТЬ ; CTft,
и по (9)
tt - 2t"j
f а = 2v2
in 2 tn
Vk vk
ti = V2v3a1, t2 = v3v1a2, t3= v1v2o3
(12)
дэ , /..9i .j, дэ , _.9y 9 ^
-n: + (vl + v!)1j7 + vlvt
-^+m^4h+vlvl^i
-viv,
дэ
wT
дэ
LU2 dJ3
^t(vlt v2, v3), - t (P2> t"8. n)> = / (v;i, V1, v2)
(13)
или в другой записи tb - 2v
-+(h~^^- + IsVk2 -
dl
dl.
(14)
Рассматривая теперь э, как функцию переменных vk, имеем
ди
dl,
din
ПО ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
, ОЭ ОЭ ,1С,
= = <16>
Сравнение с (14) приводит к формулам
дз дэ
Ч ~~~дд/г
Можно было предвидеть этот простой результат; действительно, элементарная
работа б'аг=бэ сил tk, распределенных по граням кубика с ребрами ufe--l-
)-8ft, параллельным главным направлениям меры Фингера, на виртуальном
перемещении bvh = = 6(l-f-6ft) граней из актуальной конфигурации равна
6э = Е = Е t"&vk,
k=\ к k=i
откуда сразу же следует (16).
Представление тензора Пиола в изотропном упругом теле по его определению
(2.6.2) и определению мер деформации (1.4.4), (1.5.3) приводится к виду
Р = 2VrT- (ф0Е + %F + r|)2F2) = 2 (i|)0VrT-pr|)1VrT- VRT- VR +
+ o|)3VrT- VRT- VRi VRT - VR) = 2 (ф0 VrT + ^VR + tp,GVR),
или
P = 2(^0G-1 + rl>1E + 3|)2G)-VR. (17)
Заменив здесь G_1 с помощью тождества Гамильтона-Кэли (1.9.22), приходим
к еще одному представлению
P = 2^0E + <p1G+<p2G2).YR (18)
с коэффициентами
дэ . г дэ , . дэ ( дэ . г дэ \ дз
Фо~ dh + 2а7Г' ф1"~ \р77+ 1 а77/' Ч>2=='Ш7'
(19)
Представлениям энергетического тензора по (2.6.11) придается вид
T" = 2}/f [ф0О-1 + ф1Е + ф2О] = 2 [ф0Е + ф1О + ф2Оа].
(20)
В отсчетной конфигурации тензор напряжений - шаровой
T_2?rt. + * + ""-,2E(^-+2|l- + -t)" = -PE, (21)
дэ , 0 дэ . дэ \ о
р~~2[Л7+2 Ж + ш) (22)
- нуликом указано, что после дифференцирования инвариантам придаются
значения /j ^/2 = 3, /"==!,
§4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ ОТСЧЕТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ Щ
Отметим еще, что по (11) и (16)
<23>
так что
'= л/ -------- - е~!^Н)- (24)
V G d In У дН ' К '
где Н - логарифмическая мера деформации (1.6.10) (мера Генки).
По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола - Кирхгоффа имеем
также
дэ дэ дэ
^7t
тх = 2 -- - -- t-i-t --?L- (951
1 <3G дС ' dCV ' 1'
§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации
Рассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные
преобразованием подобия
f (q1, q\ q3) ~ от (q1, q\ q3), rs = ars. (1)
Элементарные объемы в о и v конфигурациях равны
dv = rx- (г2хг3)dq1 dq2dq3,
dv = гх-(r2xr^)dq1 dq2dq3, dv--=a3dv. (2)
Поэтому
fi = =1 Г2ХГ3 a_lrl p2z_a_lr2 r3 = a^r3. /34
rr(r2Xr2) a гг(г2Хгз)
Вектор места- в актуальной конфигурации R, конечно, один и тот же.
Поэтому
VR = riRi = a-1VR, G =a_2G, F=a-2F (4)
и связи между инвариантами определяются формулами
7l(F)-a-2/1(F), 7, (F) - a~iI2 (F), 73 (F) - а~Ч3 (F). (5)
Потенциальная энергия деформации в актуальной конфигурации одна и та же в
преобразованиях v-v-
72> h)dv^ SSS h)dv =
J SS 3 (a~2/j, a-4/2, a-e/3) a3 dv
и, поскольку объем и -произвольный,
9(/lt /2, /3)-=а3э(a-2/i, а_4/2, а~6/3). (6)
1
112 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
!
Поэтому
дэ , дэ дэ дэ , дэ дэ , дэ
-аТ- - а эГ СС -, --j- =- а-1 -, -д-Г--= а- -т^-
^ a/j dl2 dh dl3
и no (3.5)
Фо -¦= "3Фо> ФТ ^ "Ф1, Ф2 -=• а_1% • (7)
Теперь уравнение состояния (3.4) в отсчетной и-конфигура-
ции, записываемое в виде
Т - 2/^1/2 (ф0Е -HqF + ^2F2), преобразуется к виду
Т = 2а (а~3ф0Е + -(-аф2а-4Р2)
и как следовало ожидать
f = 2/3-1/2 (ф.Е + 1P1F + Ф2Р2) = Т. (8)
Тензор напряжений в актуальной конфигурации независим от выбора отсчетной
неискаженной конфигурации.
§ 5. Варьирование напряженного состояния
Предполагается, что на актуальную конфигурацию среды наложено поле
