Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
¦ -+"
S =w 2 Ш V* <*<¦ ("и - -
Но
/с. У /v,/f.
/ к- к \ i * t3 j
= те--------= °.
Э
так как 2
i
4. У _Эб1(р)_ = 0. (В.У)
i 1
Это сразу следует из (В.З) и (В.5).
5. (Р) = §ijS (р) + ~4я дх{дху | р |" *
где
+°°
б И = - j J J rffc ехр (ifcr) == б (х) 5 (у) б (г) (В.8)
СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНОЙ в-ФУНКЦЙЙ
381
- обычная трехмерная 6-функция Дирака, так как
б (х) = j' dkxeikxX- (В.9)
•-СО
Чтобы доказать (В.7), используем (В.2) и (В.8):
1 к.к-
(р) = (Р) - j dfc-i^-exp(ifcp). (В. 10)
-ОО
Но
-|-оо -|-оо
д д
дх. дх.
" з -,
С dk ехр (ik р) С kjkj ехР (lfc Р) ^ (ВЛ1)
• J J А"
Поэтому (В. 10) можно записать следующим образом:
*5 М - V м + Т$5Г W1 а " -- ¦ (Б'12)
Последний интеграл можно рассчитать косвенным методом, воспользовавшись
представлениями электростатики. Потенциал заряда е равен
у= " . (В.13)
4лг
Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
V2V=-ed(r). (В. 14)
Отсюда находим, что
+ СО
п- JL = - 4яб (г) = --1- ( dfcexp(ifcr), (В.15)
г 2я3 J
где использовано (В.8). Отсюда легко получить, что
1 i С dk ехр (iftr)
litT'3 (2я)а ) ft3 *
(В. 16)
Если мы подействуем оператором V2 на левую и правую части равенства
(В.16), то получим формулу (В.15). Затем подставляем (В.16) в (В.12), и
формула (В.7) доказана.
"$Р)__ <(Р) (В.17)
если р = г - г'. Эту формулу легко получить, дифференцируя (В.2) по Х]с и
х'к.
382
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение Г СООТНОШЕНИЯ КОММУТАЦИИ ДЛЯ D Ш В
В этом приложении мы выведем соотношения коммутации (4.135) и (4.136) из
основного текста.
Так как В = rot.4, то в представлении Шредингера получаем
г дАз(г') дАх(г')
[Dx (г), В! (г')] = [Di (г),
д д
= щ [-01 W-Аз - а? ^ М- А* ("¦')]• (Г-1)
Из (4.123) и свойств симметрии (В.З) и (В.4) следует, что
[D\ (г), Вх (г1)] = "* -^ (Р) - Л -jL в? (р), (Г.2)
где р = г - г'. Из (В.2) приложения В
dfc-р-схр (ifcp),
дг/' (2я)3 J к'2
+ СО
(Г.З)
дх' (2я)3 j /с3
dfc -р- ехр (ifcp).
Если мы подставим эти уравнения в (Г.2), то увидим, что [Dx (г), Вг (г')]
= 0 в представлении Шредингера, откуда следует формула (4.135) основного
текста в представлении Гейзенберга (аналогичное доказательство
справедливо для [D2, В%\ и Wз, #з!)'
Далее рассмотрим коммутатор двух перпендикулярных компонент, например Dx
и Вг. Получаем
, fdAx(r') дАя(г')\\
Dl ( dz' ~ дх' )J -
[А (г), В2 (г')]
dz' "И' Л - дх
= 4р [Dl (г), Ах (г')] - 4р [Dx (г), Аз (г')] =
= ""-^7вп(р)-""^вц(р). (г-4)
где мы использовали соотношения коммутации (4.123).
Из формул (В.2) и (В.8) приложения В получаем
д д i Г к^кз
~dz' ^ = "dz7 6 + '(2it)3" J ~Р" 0ХР (tfcP) dk'
- ОО
(Г.5)
+оо
д т i Г к\кък\
ЭЙ 613 (Р) = Т2Я)3 J ехР
ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ D и В 383
Подстановка этих выражений в (Г.4) дает
[Di (г), Во. (г')] = + ih -gp б (р) = - ih -gj- 6 (р), (Г.6)
так как р = г - г'. Аналогично доказываются формулы для [D2, В3] и [Dз,
Bj], и, таким образом, формула (4.136а) доказана. Совершенно так же
доказывается формула (4.136Ь).
Приложение Д
ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ D И В
Выведем гейзенберговские уравнения движения (уравнения (4.138)).
Гамильтониан задан формулой (4.137). Поскольку, как это видно из
(4.131а), все компоненты D коммутируют, мы с помощью формулы (4.137)
выводим для ж-компоненты D следующее выражение:
dDi {г, t)
ih
dt
где В2 = В\ -j- В\ -)- fig. Из (4.135) следует, что [Dj, fij] = 0,
так
что (Д.1) сеодится к следующему выражению:
Л d_Di(r, t) = _1_^ dx, т {Г' t)> (r,t ()] + [Jh (ji> ()>
i)]}_
(Д-2)
В задаче 1.8, f) было показано, что
[Di, В'\\ = B\ + 7?; [Di, в;], (Д.З)
где использовано обозначение В' = В (г', t). С помощью (4.136)
уравнение (Д.З) преобразуется следующим образом:
[Л,В'3]=_2Ш?;Аб(р)1 (д.4)
так как (d/dz) 8 (р) есть с-число и коммутирует с В'г.
Аналогично
[Di,B'l] = J-2?feS;^-6(p). (Д.5)
Если мы подставим (Д.4) и (Д.5) в (Д.2), получим
dDi ih Y d ? д (* " '
т чг = тг Ы) dx'm {r''t] 6 (р) ~ ^Yx'Bi {у't] {0).
• (Д.6)
384
ПРИЛОЖЕНИЯ
Но из определения б-функции следует, что
+оо
^dx'f(r')b(r-r') = f(r), (Д.7)
- ОО
так что (Д.6) сводится к следующему выражению: dDi (г, t) ih г дВ3 (г, t)
дВз (г, t) ]
lh-dt- = Тчг|; dj - - dz J* (Д-8)
Но В = роВ и выражение в скобках представляет собой х-компо-ненту rot В.
Аналогично выводятся уравнения для у- и z-компонент D, и, таким образом,
уравнения (4.138а) выведены. Вывод уравнепий (4.138Ь) предоставляется
читателю.
Приложение Е
ВЫЧИСЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ КОММУТАЦИИ ДЛЯ ПОЛЯ
Покажем, что
[Ак (*¦- *)• $ "Т (А (*¦'. *))* df J = ih,'q (г, t). (E.l)
Так как г' - переменная интегрирования, мы можем записать левую часть
(Е.1) в виде
2 Гу- dx' [Ац (г), Ai (г') Ai (г')] = ?Й 2 \ dx'Ai (г') б^ (г - "•'),
(Е.2) I ^ I
где использовано тождество
[А, ВС) - [А, В] С + В [А, С) (Е.З)
и соотношения коммутации (4.180).
Прежде всего необходимо установить еще одно свойство поперечной б-
функции. Рассмотрим разложение произвольного вектора
1 3
B(?,) = 7%SS в1°г1° охр <~ikir)' ¦ (Е-4>
I о=1
где е[о (а = 1, 2, 3) - три взаимно перпендикулярных единичных
