Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
нелинейных поправок останется малым.
Изменение энергии второй гармоники (Иф) за счет нелинейных процессов
можно найти по аналогии с разделом 1.7 (формула (7.5) для работы тока):
= {e2J{2)} = ~l?ealh(q, q) E*02aE0pE0l + K.C., (22.5)
54
Глава 1
где
Ё2 = Ё02е2г^ + Ё*2е-2г^
- поле второй гармоники. Поскольку W2 ос \Eq2\2, то из (22.5) (после
сокращения на Eq2) следует линейность роста амплитуды второй гармоники со
временем.
Аналогично, если изначально в среде было две волны (ki,ui) и (к2,и2), то
в результате трехволнового взаимодействия возникнут волны с
комбинационными частотами (к\ + + /с2, сщ+шг), {к\-к27 u)i-u>2), (2/ci,
2mi), (2к2,2и2), если они могут существовать как свободные волны и их
раскачка не запрещена неудачным направлением электрического поля.
Для описания трехволновых взаимодействий удобно ввести амплитуду волны
a(t) согласно определению:
\a(t)\2 = N = E0(t) = a(t)Ep, (22.6)
где N - число квантов волны в единице объёма, а Ер - постоянный вектор
(не единичный), характеризующий специфику данной волны, т. е. её
поляризацию и коэффициент пропорциональности между |i?o|2 и W.
Пусть дисперсионными соотношениями разрешено только взаимодействие
(ki,u!i) + (к2,и>2) -> (кз,и>з), (22.7)
кг=кг+к27 ьоз = +и2. (22.8)
По аналогии с генерацией второй гармоники для изменения амплитуды третьей
волны имеем
аз = Изоцац, (22.9)
где точка означает производную по времени, а все не зависящие от времени
коэффициенты обозначены V3. После появления третьей волны становятся
возможными обратные к (22.7) процессы:
(к3,и;3) + (-k2,-uj2) -> (кз.ил), (22.10)
{кз,и3) + (-?i,-u;i) -> {к2.и>2). (22.11)
1.22. Трехволновое взаимодействие
55
Они приводят к изменению амплитуд исходных волн:
<2i = Vi<23<22j <22 = V2<23<2^, (22.12)
где комплексно-сопряженные амплитуды появляются как коэффициенты перед
е~щС
Рис. 15. Трехволновое взаимодействие как взаимодействие квантов волны:
(а) все три волны имеют положительную энергию, (б) волна 3 имеет
отрицательную энергию.
Законы сохранения энергии и импульса требуют, чтобы создание одного
кванта третьей волны тратилось по одному кванту исходных (рис. 15, а):
(соотношения Мэнли - Роу) и связь между коэффициентами Vi, V2 и V3. Чтобы
получить эту связь, продифференцируем, например, (22.14) по времени:
Ац, LO1
h, ^1
к2, ^2
а
б
aN3 = -aN\ = -дЛ^з-Следствием этого факта являются соотношения
(22.13)
|<2l|2 + |<2з|2 = COnst, |о.212 + |аз|2 = const, |<2112 - |<3.2 |2 =
COnst
(22.14)
(22.15)
(22.16)
(<2iа\ + <2з<2з) = <2ц а\ + <2з<2з + к.с. =
= Via3fl2ai + Узсца2аз + кх- =
= a1a2a*3(V3 + V1*) + K.c.=0. (22.17)
56
Глава 1
Равенство (22.17) выполняется при любых амплитудах волн. Следовательно,
Vi = - V?. Аналогично, из соотношения (22.15) имеем V2 = - V3*. Мы
получили, что нелинейная эволюция всех трех волн описывается только одним
комплексным коэффициентом:
<2i = -Vr*a2a3i <22 = -Vr*<2i<23,
<23 = V <2i<22-
(22.18)
(22.19)
(22.20)
Уравнения (22.18)-(22.20) называются уравнениями Бломбер-гена. Они
единообразно (с точностью до коэффициента V) описывают любые трехволновые
взаимодействия в электродинамике сплошных сред.
Gi А
in
1аз|ж/"
а
<2 2
Рис. 16. Возможные состояния системы (толстые линии) при различных
начальных соотношениях амплитуд. Все три волны имеют положительную
энергию.
Кроме (22.14)-(22.16) при трехволновом взаимодействии сохраняется также
суммарная энергия волн:
^i|di|2 + ^21^212 + а2з|яз|2 = const. (22.21)
Несложно убедиться, что из четырех выписанных выше инвариантов только два
являются независимыми. Эти инварианты
1.23. Самофокусировка
57
помогают определять характер трехволнового взаимодействия. Например,
условие (22.21) задает в пространстве (|ai|, |а.21, |"з|) эллипсоид, а
условие (22.16) - цилиндр (рис. 16). Пересечением этих двух поверхностей
будет некая трехмерная кривая, которая и ограничивает возможные состояния
системы (т. е. значения |ац|, |a.21, |яз|) при данном взаимодействии.
Если одна из взаимодействующих волн имеет отрицательную энергию, то
законы сохранения числа квантов меняются. Например, при отрицательной
энергии волны 3 (рис. 15,6) имеем
aN\ = aN2 = aN3. (22.22)
Соответственно, соотношения (22.14)-(22.21) слегка изменяются.
1.23. Самофокусировка
Самофокусировка - это эффект третьего порядка по амплитуде поля, одно из
возможных проявлений четырехволнового взаимодействия. За самофокусировку
отвечает нелинейная добавка к электрической индукции на частоте исходной
волны. В терминах слияния отдельных волн самофокусировку можно
представить как
(к, ил) + (к, ил) + {-к, -ил) -> (к, ил). (23.1)
Будучи эффектом третьего порядка, самофокусировка возможна в истинно
изотропных средах без пространственной дисперсии. Рассмотрим далее именно
такую среду. Тогда зависимость D(E) не будет содержать квадратичных по Е
слагаемых и примет вид
D = е(ил)Ё + а(ил) (ЁЁ*^ Ё + /3(ил) (ЁЁ'} Ё*. (23.2)
Несложно убедиться, что других нелинейных членов, содержащих дважды Ё
