Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
экстремальной флуктуации является сферически-симметрич-ной (в § 21 это
предположение будет оправдано). Ограничиваясь таким классом функций ф и
используя симметрию потенциала и (г) - и (г), нетрудно видеть, что при
малых г справедливо разложение щ (г) - (0) + Va^O) Г\ При больших t^> |
щ (0) j"1
подынтегральная функция в (16.1) имеет острый максимум, ширина которого -
| (0) много меньше характерного расстояния - | (0)/m^ (0) I'/*, на
котором меняется функция и^(г). По-
этому из (16.1) получаем
- In (t) = - ~п ехР (°))> 0 6-2)
откуда согласно (14.12)
Q(", = (Ж)*]}, (16.3)
где ut=:u/Ub(0), йа - - 1Цф)1иь (0)- Наконец, уравнение для экстремальной
волновой функции ф0 (14.15) приобретает вид
А I , / \ . . д(r)/ди2 ( , . и" {г) d-\ u"(r)\ t Г|
-Дф0 + и±и (г) ф0 + ^и2и (г) fE 2 Г1 J 'Фо =* ?Фо-
(16.4)
Рассмотрим сначала область очень больших энергий |?|3^> ^>|ц(0)| (дальняя
пуассоновская область). В этом случае, как будет показано ниже, той
частью потенциала, которая пропорциональна (dQ/du2) (dQ/d"i)"\ можно
пренебречь. В результате приходим к уравнению Шредингера
-Дфо + ц^ффо^Яфо, (16.5)
в котором потенциал ^"(г) повторяет форму потенциала одной
частицы и (г), отличаясь от него лишь наличием большого
постоян-
ного множителя иг. Предположим также, что для очень глубоких уровней
имеет место классическая (в том же смысле, что и в § 15) ситуация, т. е.
что характерный радиус г^, волновой функции ф0 мал по сравнению с
расстоянием г0 ~ [ и (0)/"" (0) |*Д, на котором меняется потенциал и (г),
а уровень ? лежит почти на дне флуктуационной потенциальной ямы: Е тт иги
(0). Заменяя теперь потенциал ы(г) осцилляторным, получаем, аналогично
(15.4), что
? " ихи (0), Гь ~ {г0гЕ)Ч*, гБ^ | ? I"1/, t откуда, с учетом (14.14) и
(16.3), имеем
Ф (?) - ^у|г° (16.6)
Эта формула была получена квазиклассическим методом в [123] и
вариационным методом в [22, 119]. Пределы ее применимости ограничены, во-
первых, условием классичности |?|Го^>1 и, во-
209
вторых, пуассоновским условием t0 \ (0) | 1. Последнее имеет
вид In(|?|rl/cJ)1 и автоматически обеспечивает малость отброшенных
слагаемых в уравнении (16.4).
j§iB предельном случае cJ 1, соответствующем разреженному газу
рассеивателей малой интенсивности, пуассоновское условие In (| Е | r\lcJ)
1 и совпадающее с ним условие применимости уравнения (16.5), будучи
экстраполированными в область сравнительно малых энергий |?jro^l, могут
выполняться даже при нарушении условия классичности. Написав формулу
(16.6) с превышением точности:
Ф(Я) =
Е ,п( Е tty (0)
"ф<°> п"ф (0) "г1>(°)
d! а
(16.7)
нетрудно обнаружить тенденцию к смене асимптотики Ф (Е) при | Е | ~ Го2.
В самом деле, область | Е \ г^'3 1 соответствует плав-
ным, по сравнению с потенциалом и (г), волновым функциям, а величины
Иф(0), "^,(0) в этой области начинают степенным образом зависеть от
энергии. Поэтому естественно ожидать, что после перехода в область малых
энергий плотность состояний будет описываться формулой той|же структуры,
что и (16.6), но |?| будет входить в эту формулу и перед логарифмом, и
под знаком логарифма в степенях, меньших единицы.
Более детально ближнюю пуассоновскую область | Е \ г2 1 проще всего
исследовать для потенциала (2.4) в точно решаемом случае "(г) - - Jr^ch'2
(г/г0), где 7<^1. Поведение плотности состояний в этой области спектра
существенно зависит от размерности задачи. В одномерном случае d-1 спектр
и волновая функция основного состояния имеют вид [116]
Еп = - (2г0)"2 [ (1 -f 4 /их)1/2 - (2/i +1) ]2, /г-0,1,...,
(16 8)
ф0 (x) ~ ch~s (x/r0), s - | Е011/2 г0 - 2"1 [(1 Н-4/м1)1/2 _ 1].
Отсюда следует, что в классической области |?0|rj|^>l константа связи ut
пропорциональна энергии основного состояния, что снова приводит к (16.6).
В ближней же пуассоновской области j Ей \ г\ 1 из (16.8) следует, что
(|?|ro)v<
J-l\EYI*r о, ф0(х)
(2г0)'/а
-К)
~\Е I
(16.9)
Вычисляя с помощью волновой функции (16.8) величину "2 = =-tty (0)/и$
(0), получаем
<16Л0)
1чуда, с учетом (16.7), для плотности состояний следует формула
(i6.li)
-In р (?) = Ф (?) = In (r) Е1'(r)'/'
cJ
210
справедливая в области параметров, ограниченной неравенствами
В трехмерном же случае ситуация существенно иная. Волновая функция
основного состояния в сферически-симметричной яме и (г) - - /ro2ch-2
(г/г0) имеет вид ф,= %/г, где %(г) обращается в нуль лишь в начале
координат и удовлетворяет одномерному уравнению Шредингера с тем же
потенциалом и (г). Поэтому х(г) совпадает с точностью до множителя с
волновой функцией первого возбужденного состояния одномерной задачи, а
энергия основного состояния Е0 определяется теперь формулой (16.8) с п =
1:
В классической области отсюда снова следует результат (16.6). Что же
касается ближней пуассоновской области |?|/'о<^1, то в ней зависимость
константы связи щ от энергии основного состояния имеет вид
Эта формула отличается от (16.9) постоянным слагаемым 2J~l, наличие
которого отражает факт существования критических параметров потенциальной
