Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующих асимптотик, т. е. попросту о пределах (Е).
(6.38)
(6.39)
В этом случае мы получаем просто сдвиг спектра на величину {/^/(flo +
^i)" равную среднему значению потенциала. Это понятно, так как при а0, аг
-> 0 практически все ямы и барьеры очень узки и потенциал становится
очень быстро осциллирующим. Но волновая функция является довольно плавным
функционалом от потенциала и поэтому будет меняться гораздо медленней.
Значит, если применить к уравнению (6.1) операцию
то на волновую функцию она действовать не будет, а потенциал заменит на
среднее значение.
в) Как уже отмечалось в п. 6.3, при выполнении условия (6.29)
плотность состояний в некоторой окрестности среднего значения потенциала
оказывается такой же, как и для белого шума. В рассматриваемом примере
корреляционная функция флуктуаций потенциала Bv(x) в частном случае ай -
ах - а имеет вид
имеет тот же вид, что и для потенциала типа белый шум. Для того чтобы
убедиться в этом, достаточно зафиксировать энергию, отсчитывая ее от
среднего потенциала, и выполнить предельный переход а-+ О, U0->~ оо,
Ща^80 = const (при этом, очевидно, Una*-+- 0), в результате которого из
(6.376) получаем в точности формулу (6.17).
г) U0-+ao, a k-L - aJJо и а0 фиксированы. Такой
предельный переход соответствует "стягиванию" барьеров и превращению их в
6-функции, Результирующий потенциал будет равен 2^/8 (х-яу), где
расстояния между б-функциями yj -
~xj+i-X/ являются независимыми случайными величинами с плотностью
вероятностей f0 (у) = ао1 ехр (- у/а0), а коэффициенты kj-тоже
независимые неотрицательные случайные величины (пло-
А"1 J ...dx\ a0,a1<^A<^6~1,
X
(6.42)
что в терминах п. 6.3 означает следующее:
Поэтому в случае
плотность состояний в области значений энергии
щади барьеров), распределенные по закону P(k) = kr1 ехр(-k/ki). Тогда
(?¦) = л + с0 J da J dp exp [Ф (a)-Ф(р)], (6.43)
где Кz(*) - функция Макдональда. Интересно, что эта асимпто-тика может
быть получена и прямо из (6.39).
д) И/0 -оо, о0 -> 0, a k0 - a0U0 и фиксированы, что соответствует
"стягиванию" ям в б-функции. Здесь, в отличие от предыдущего случая,
необходимо перенести начало отсчета энергии в точку U0, Результирующий
потенциал имеет такой же вид: 2kjb{x-Xj), но kj теперь отрицательные и
имеют плотность
вероятностей &^гехр (?/&"), k ^ 0. Мы не будем выписывать получающихся
здесь формул, так как они несколько громоздки. Приведем только
асимптотику при Е-> - оо:
Отметим, что описанный выше метод нахождения плотности вероятностей
приведенной фазы, а следовательно, и среднего числа состояний,
заключающийся в том, что фаза и потенциал рассматриваются как единый
двухкомпонентный марковский процесс, может быть в принципе применен во
всех одномерных задачах, в которых либо сам потенциал является
марковским, либо является компонентой некоторого многокомпонентного
марковского процесса.
6.5. Плавные случайные потенциалы. В конце § 1 мы уже
обсуждали, как учесть влияние плавной составляющей случайного потенциала
(см. формулу (1.39)). Результат (6.40), полученный в предыдущем пункте
после предельного перехода
можно рассматривать как частный случай формулы (1.39), когда составляющая
потенциала, изменяющаяся на межатомных расстояниях, отсутствует, а
плавная составляющая есть ?/0s (х), где s (х) - использованная в п. 6.4
случайная функция при а0, аг-юо. Иными словами, общая формула (1.39),
полученная в § 1 с по*
п/2
а
-п/2 -п/2
Ф (а) с0а------------т- tg а.
"1
При Е -*- 0 отсюда получается
(6.44)
Я,(*) = jexp {~t-^dt = VTxKAVix),
о
(6.45)
Д0> ai-*°°* ->const,
(6.46)
86
мощью простых качественных рассуждений, в точно решаемой модели
предыдущего пункта возникает как асимптотическая в предположении, что а0,
аг-^оо. Это предположение, очевидно, является одной из возможных форм
придания асимптотически \
точного смысла свойству плавности изменения случайного потенциала.
Покажем, что формула, аналогичная (6.40), имеет место и в более общей,
чем в п. 6.4, ситуации, когда, во-первых, присутствует неплавная
составляющая случайного потенциала v(x), которую мы будем предполагать
статистически независимой от s (х), а, во-вторых, плотности вероятностей
длин ям и барьеров fs(y), s - 0,1, не обязательно являются экспонентами,
а представляют
собой произвольные функции со средними as= \yfs(y)dy. В этом случае
функцию Ж (Е) в пределе (6.46) можно получить, если воспользоваться
вытекающими из вариационных принципов неравенствами [47]:
Mf(Е) + i/i!1 (Е) < (Ei+Е,) (Е) <
+ (6-47)
где <№l (E) -отнесенное к единице длины число состояний с энергией,
меньшей Я, для системы, занимающей интервал длины L с произвольными
граничными условиями на его концах, а <J\P^0) (Я) (<$*Ly (Я))-такая же
величина, но для нулевых граничных условий для волновой функции (ее
производной).
Пусть vs (Я) -число попадающих на интервал (0, Я) участков, на которых s
(х) = s, ^-их длины, * dffj (Я), а = 0, 1, - числа состояний на единицу
