Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
'к (^l> *"l) (r)Im (^2>
= 2r[1](6JA" + 6J-A2)+(S-|l)6t-Am]S(r1-r2)6(/1-/2). (88,18)
436
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. IX
Формулы (88,16-18) решают, в принципе, поставленный вопрос о вычислении
гидродинамических флуктуаций в любом конкретном случае. Ход решения задач
при этом таков. Рассматривая sik и g как заданные функции координат и
времени, решаем формально линеаризованные уравнения (88,6-8) относительно
величин бр, 8v, ..., учитывая при этом необходимые гидродинамические
граничные условия. В результате получим эти величины, выраженные в виде
некоторых линейных функционалов от sik, g. Соответственно любая
квадратичная по бр, Sv, ... величина выражается через квадратичные
функционалы от %> g, после чего их среднее значение вычисляется с помощью
формул (88,16-18), и вспомогательные величины sik, g выпадают из ответа.
Выпишем формулы (88,16-18) также и в фурье-компонентах по частотам,
причем сделаем это сразу в виде, обобщающем формулы на случай квантовых
флуктуаций. Согласно общим правилам флуктуационно-диссипационной теоремы,
такое обобщение достигается путем введения дополнительного множителя
ф.а>!2Т) cth (&ю/2Т) (обращающегося в единицу в классическом случае,
fiw<^.T). При наличии дисперсии вязкости и теплопроводности величины г),
?, к являются комплексными функциями частоты; при этом в формулах
для флуктуаций т], ?, и заменя-
ются вещественными частями этих функций:
(s%g?% = 0, (88-, 19)
(g?)gk% = SikS(ri - r2)ticoTcth|| • Rex (со), (88,20)
(sil'sjffla^ficoS (fj r2) cth ^ x
x[Wta + M*r-|SiAm) КечИ + б/АяКеЦ(r))] . (88,21)
§ 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде
В этом параграфе мы рассмотрим гидродинамические флуктуации в
неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача может быть, конечно,
решена изложенные в предыдущем параграфе методом. Мы, однако, сделаем это
здес.ь другим способом, проиллюстрировав тем самым альтернативный метод
решения задач о гидродинамических флуктуациях.
Этот метод использует общую теорию квазистационарных флуктуаций в ее
более ранней стадии, до введения случайных сил. Напомним относящиеся сюда
общие формулы (см. V§ 122).
§ 89J ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 437
Пусть
Ха = 2 (89,1)
ь
- макроскопические "уравнения движения" для набора величин xa(t),
описывающих неравновесное состояние системы (в равновесии все ха = 0);
эти уравнения справедливы, если величины ха велики по сравнению с их
средними флуктуациями (но в то же время настолько малы, чтобы была
допустима линеаризация уравнений движения). Тогда можно утверждать, что
таким же уравнениям удовлетворяют (при t > 0) корреляционные функции
флуктуаций
^<xa(t)xc(0)> = -^Kb<xb(t)xc(0)>, t> 0. (89,2)
ь
Начальным условием к этим уравнениям служат равенства
<xa{t)xc{V)>\t= + 0 = <xaxc>, (89,3)
где <.хахс> - одновременная корреляционная функция, предполагаемая
известной. В область t < 0 корреляционные функции продолжаются по правилу
<ха (0 хе (0)> = ± <*а (- t) хс (0)>, (89,4)
причем верхний знак относится к случаю, когда обе величины
ха и хс четны (или обе нечетны) по отношению к обращению времени, а
нижний знак-к случаю, когда одна из величин четна, а другая нечетна.
Решение уравнения (89,2) с условием (89,3) осуществляется путем
одностороннего преобразования Фурье: умножив уравнение на eiat и
проинтегрировав по i в пределах от 0 до оо (причем интеграл в левой
стороне уравнения преобразуется по частям), получим систему
уравнений
- ш (хахсу^ = - 2 КаЬ (хьхс)\а+) + <ХаХсУ (89,5)
ь
для величин (функций частоты)
00
(Vi)"+) = S еШ <ха (0 хь (0)> dt. (89,6)
О
Обычные же фурье-компоненты корреляционной функции выражаются через
величины (89,6) согласно
СО
(*"*")". = S еш <ха (t) хь (0)> dt =
- X
= Ы? ± [{хахъу^}* = (xaxbyv + (хьхаУ+Ъ, (89,7) где знаки *± отвечают
знакам в (89,4).
438 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ [гл. IX
Переходя к поставленной задаче о флуктуациях в неподвижной жидкости,
прежде всего линеаризуем гидродинамические уравнения (88,6-8) с a'ik и q
из (88,9-10) (без последних членов). Положив р = р0 + 6р, v = Sv, ... и
отбрасывая нелинейные члены, получим
~ + р divv = 0, (89,8)
Р = - \6P + r\Av+ (s + j) Vdivv, (89,9)
- = ^Аб T (89,10)
(после линеаризации индекс 0 у постоянных величин р0, ... отбрасываем). В
уравнениях (89,8-10) будет удобным сразу разделить скорость на
потенциальную ("продольную") и вихревую ("поперечную") части vU) и v(t>
согласно определению
V = Vu) + vrt), (89,11)
divv№ = 0, rotvu) = 0.
В (89,8) остается только продольная скорость:
^ + pdivv"> = 0, (89,12)
а (89,9), распадается на два уравнения
^ = (89,13)
p^?=-v6P + (^+t) vdivyU)- (89'14)
Уравнение для поперечной скорости независимо от остальных уравнений.
Соответственно этому, и для корреляционной функции ее флуктуаций имеем
одно уравнение
г) Vk} (0, 0)> - vA <s){i) (t, T)vp(0, 0)> = 0 (89,15)
(где v = т]/р - кинематическая вязкость). Подвергнув его одностороннему
преобразованию Фурье, получим
