Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
дипольному взаимодействию двух атомов (см. III § 89, задача). При
сравнении следует учесть, что мнимая часть е (со) связана со спектральной
плотностью "сил осцилляторов" /(со) соотношением
со Im е (со) = ~~~ tif (со)
(е, т - заряд и масса электрона; см. VIII § 62); силы же осцилляторов
известным образом выражаются через квадраты матричных элементов
дипольного момента атомов (см. III (149,10)).
Перейдем к обратному случаю "больших" расстояний:
При этом, однако, будем считать, что расстояния все же не столь велики,
чтобы нарушилось неравенство 1Т/йс<^1.
В формуле (81,10) снова вводим новую переменную интегрирования х =
2pl?/c, но в качестве второй переменной оставляем теперь не ?, а р. Тогда
ех и е2 окажутся функциями аргумента
1) Если Потенциальная энергия взаимодействия атомов 1 и 2 есть U (г) = =
- аг-в, то полная энергия парных взаимодействий всех атомов в двух
полупространствах,-разделенных щелью ширины I, равна Unол =-annin2/2l2.
Сила же есть F = dUnoJdl = ann1ni/6l3. В этом и заключается соответствие
между формулами (82,2) и (82,3).
§ 82J МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ 405
it, - ixc/2pl. Но благодаря наличию ех в знаменателях подынтегрального
выражения, в интеграле по dx играют роль значения х~\, а поскольку 1, то
аргумент функции е при больших I близок к нулю во всей существенной
области переменных. В соответствии с этим можно заменить е.г просто их
значениями при ? = 0, т. е. электростатическими диэлектрическими
постоянными е10, е20. Таким образом, окончательно
' 32я2/4
оо со
Ий
О 1
+
(SlO + p) (S20 + P) ех _ _(S10 - Р) (?20 - Р)
(slQ + Pelo) (s20~f~ РВ2о)
+
_(S10 - = у 8
¦рею) (s20 -ре2о) .0-- 1 +Р2> S2l
ех - 1
'¦V 620- 1 +Р2-
(82,4)
Закон убывания силы с расстоянием (как Z-4) соответствует в данном случае
закону убывания ван-дер-ваальсовых сил между двумя атомами с учетом
запаздывания (см. ниже).
Формула (82,4) сводится к очень простому выражению в слу- оа чае, когда
оба тела - металлы.
У металлов функция е (it,)->-оо при t,-*-0; поэтому для них надо счи- °,в
тать еп
оо. Положив 'е.
оо, получим
г. he
ом
и
16я2/4 J J ра (ех-о 1
xs dp dx я2 he 1) - 240 "F
0.2
(82,5)
к АД
К
ММ
х МЛ
0,2
О,и 0,6
Рис. 18.
0,8 1/?0
(Н. В. G. Casimir, 1948). Эта сила вообще не зависит от рода металлов
(свойство, не имеющее места на малых расстояниях, где сила взаимодействия
зависит от поведения функции е (it,) при всех значениях ?, а не только
при ? = 0).
На рис. 18 представлен график функции <рдд (е0), определяющий силу
притяжения между двумя одинаковыми диэлектриками
(в!
;е0); формула (82,4) представлена в виде я2 he
F =
во --1
240 /4 Ve0 + 1
Фдд (ео)-
(82,6)
На том же рисунке дан график функции фдм (е0), определяющей силу
притяжения для диэлектрика и металла (е10=е0, е20 = оо)
406
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. VIII
по формуле1)
' <82'7>
Произведем в (82,4) переход к взаимодействию отдельных атомов подобно
тому, как это было сделано выше для формулы
(82,1). При малых е0-1 имеем
s°-Рео"(е0 -1)(- Р + %) " и интеграл (82,4) принимает вид
F = ШГ ^-1 > -1 )]*ае-х to] dP>
0 1
откуда
F=^-mb-(e"-Vle"-V' <82'8>
Эта сила соответствует взаимодействию двух атомов с энергией
= (82,9)
где ait а2-статические поляризуемости атомов (е0= 1 -(-4я/га). Формула
(82,9) совпадает с результатом расчета по квантовой электродинамике для
притяжения двух атомов на достаточно больших расстояниях, когда
становятся существенными эффекты запаздывания (см. IV § 85).
Наконец, рассмотрим расстояния настолько большие, что имеет место
неравенство IT/lie1, обратное тому, которое требовалось для возможности
пренебрежения влиянием температуры. В этом случае из всех членов суммы в
(81,9) надо сохранить лишь первый. Однако сразу положить в нем п = 0
нельзя ввиду возникающей при этом неопределенности (множитель обращается
в нуль, но интеграл по dp расходится). Это затруднение можно обойти,
введя сначала вместо р новую переменную интегрирования дг = 2p?J/c (в
результате чего множитель ?" исчезает). Положив затем ?"=0, получим
(82Д0)
о
Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание силы притяжения
замедляется и снова происходит по закону /~3,
1) При е0 -> 1 функции фдд и фдм стремятся соответственно к значениям
0,35 и 0,46, отвечающим предельным законам (82,8) и (1) в задаче к этому
параграфу. При е0 -> оо обе функции стремятся к значению 1, отвечающему
формуле (82,5).
§ 83] АСИМПТОТИКА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ в жидкости 407
но с коэффициентом, зависящим от температуры (все следующие члены суммы в
(81,9) убывают с I экспоненциально). Условие IT/hc^l есть по существу
условие классичности (hax^T, где со~ l/с). Поэтому естественно, что
(82,10) не содержит %х).
Задача
Найти закон взаимодействия атома с металлической стенкой на "больших"
расстояниях.
Решение. Взаимодействие отдельного атома с конденсированным телом можно
найти, рассматривая лишь одно из тел (пусть это будет тело 2) как
