Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
приравниванию коэффициентов, стоящих при одинаковых функциях Xmn в обоих
сторонах равенства. Вычисления элементарны, хотя и довольно громоздки.
Они приводят в результате к следующей системе уравнений для величин
а|этп:
(2 JS - <g) ¦фтп = S2 (/im^ln + Jlntylm) + J mntymn -
и введено обозначение J для суммы 2 ^ш, не зависящей, оче-
I
видно, от индекса п1).
Перейдем в этом уравнении от координатного представления (независимые
переменные-координаты атомов r", rm) к импульсному, т. е. положим
Itmn = ± е,к (г">+ г")/2 ^\|>(К, k)e'k (г(tm)-г"). (73,6)
к
Вектор К играет роль суммарного квазиимпульса двух магнонов, а к -
квазиимпульса их относительного движения; суммирование производится по N
дискретным значениям к, допускаемым для решетки объема Nv (N - число
атомов в решетке, v -
1) Эти уравнения справедливы и в случае спина S = 1/2, когда все ipnn
произ-
вольны. Обратим внимание на то, что npnS=l/2 все "диагональные" величины
i])nn вообще выпадают из уравнений с ш ф п. Уравнения же с ш = п в этом
случае надо просто считать отсутствующими.
§ 73] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ 363
объем ее элементарной ячейки). Вместе с г|этп надо представить в виде
ряда Фурье также и обменные интегралы:
Утп = 1гЕе1к(Гт"Гп)у(к)* ^(к)=ЕУ" пе-,к(г°-г") (73,7)
к п
(поскольку Jmn = Jnm, ТО У(к) = /(- к)).
Опустив простые промежуточные выкладки, приведем сразу окончательный
результат преобразования уравнения (73,5):
[е (-y + k) + e (-j--к) - ^(К, к) +
+ Jt/(К, к, к')Ч"(К, к')^=0, (73,8)
где
NU(K, к, к') = Л5[у(А + к) + у(^-к) + у(-|- + к') +
+ у(!-к')]-1[У(к-к') + /(к + к')]. (73,9)
а е(к) - энергия одного магнона, определяемая формулой (72,13);
суммирование по к' заменено интегрированием по одной ячейке обратной
решетки.
Таким образом, точная (в рамках гамильтониана (72,1)) задача о
двухмагнонных состояниях системы сводится к решению уравнения, вполне
аналогичного уравнению Шредингера для системы двух частиц в импульсном
представлении (ср. III (130,4)). При этом функции е(к) играют роль
кинетических энергий частиц, а ядро интегрального уравнения U(К, к, к') -
роль матричного элемента энергии U их взаимодействия для перехода
(рассеяния) из состояний с импульсами к*, ка в состояния с импульсами
kj[, к^, где
к1=4+к> ка=т~к' к;=4+к', к;=4"к'-
В этом смысле U (К, к, к') целесообразно записать в виде NU (к;, kj; kj,
k,) = As[J(kt) + J(kt) + J(k[) + J(^)]-
~[y(ki-kI) + /(kI-k;)]. (73,10)
В общем случае уравнение (73,8-9) очень сложно. Мы ограничимся
вычислением поправки к термодинамическим величинам в предположении S^l.
Простота этого случая связана с тем, что энергия магнонов е(к)
пропорциональна 5, а их взаимодействие U не зависит от S (при S 1
коэффициент в (73,9) As 1/4). Поэтому U можно рассматривать как малое
возмущение. Тогда поправка ftB3 (от взаимодействия магнонов) к
термодинамическому
364 МАГНЕТИЗМ [гл. VII
потенциалу ?2 будет даваться просто средним значением U. Взяв
"диагональный матричный элемент"
U (к1( к2; к1; ка) = ± [J (к,) + J (к2)-У (K-kJ-J (0)], (73,11)
мы тем самым усредняем по состоянию с заданными квазиим-пульсами
магнонов. После этого статистическое усреднение по равновесному
распределению магнонов осуществляется интегрированием
?2B3=Jn(k1)n(k2)t/(k1, k2; klf К)УУр$к\ <73'12)
где я(к) =[exp (e (k)/T)- l]-1-функция распределения Бозе.
При низких температурах интеграл определяется областью малых значений кх,
к2, соответственно чему следует разложить все е (к) и J(к) по степеням к.
Тогда е (к) дается квадратичным выражением (72,14). Поскольку J (к)-
четная функция к, то квадратичны также и первые члены ее разложения:
J (k) " J (0) +aikkikk.
Тогда
U(к1( к2, кх, к2) =
Но при подстановке этого выражения, нечетного по кх и к2, в (73,12)
интеграл обращается в нуль в результате усреднения по направлениям кх и
к2.
Поэтому в разложении J (к) надо учесть члены четвертого порядка, в
результате чего в интеграле (73,12) функция U (k1( к2; kj, к2)
оказывается формой четвертой степени, причем отличный от нуля вклад в
интеграл дают члены этой формы, квадратичные по kj и по к2. Ввиду быстрой
сходимости интегрирование может быть распространено по всему к-
пространству. Заменой переменных к = к У Т убеждаемся тогда, что
зависимость ?2ВЗ от Т и § имеет вид
^вз = VT*f($lT), (73,13)
причем /(0) и /'(0) конечны. Отсюда следует, что поправочный член в
намагниченности
<73'14>
Такому же закону следует поправочный член в теплоемкости1).
J) Эти результаты (в общем случае произвольного спина) были впервые
получены Дайсоном (F. Dyson, 1956). В изложенном выводе уравнения (73,5)
мы следовали в основном Бойду и Каллавэю (R. J. Boyd, J. Callaway, 1965).
§ 73]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ
365
Мы видим, что взаимодействие магнонов приводит к поправкам в
термодинамических величинах лишь в высоком приближении по Т/Тс. Напомним,
что основные члены в намагниченности и в магнитной части теплоемкости
следуют закону Ts/i. Между этими членами и поправками от йвз существуют
