Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
определяется через гейзенберговские о|>операторы электронов той же
формулой (7,9), где усреднение происходит по основному состоянию металла.
В силу однородности времени эта функция зависит от аргументов tt и t2
только через их разность t = ti -12. Пространственная же однородность
нарушена теперь наличием внешнего по отношению к жидкости поля решетки.
Поэтому гриновская функция зависит не только от разности rf - г2. Можно
лишь утверждать, что она инвариантна относительно одновременного сдвига и
г2 на один и тот же (любой) период решетки. Ниже мы будем рассматривать
гриновскую функцию в со, г-представлении, т. е. введем ее фурье-
компоненту по t: Gap (со; г*, г2). Именно эта функция позволяет, в
принципе, определить энергетический спектр электронной жидкости в
металле. Повторим (не производя вновь всех вычислений) применительно к
данному случаю изложенные в § 8 рассуждения.
В § 8 было показано, что однородность системы позволяет полностью
определить координатную зависимость матричных элементов т|>операторов и
тем самым позволяет записать общее выражение гриновской функции в
пространственно-временном представлении в виде (8,5-6); отсюда можно было
затем перейти и к ее импульсному представлению в виде разложения
(8,7).
Для электронной жидкости в решетке инвариантность матричных элементов,
выражаемая равенством (8,3), имеет место только для трансляций на периоды
решетки, т. е. при г = а. Это приводит, естественно, к меньшей
определенности в координатной зависимости: вместо (8,4) можно утверждать
лишь, что
<01 (t, г) | mk> = хШк (г) ехр {-шт0 (к) t),
<тк|Фа (t, г) |0> = Xam,-k (г) exp (icomo (к) t), (62,1)
где ^
хШк(г) = е'кгыатк(г),
Xamk (r) = elkryC!mk(r), (62,2)
к - квазиимпульс состояния; т - совокупность остальных характеризующих
его квантовых чисел, а и и v - некоторые периодические в решетке функции
координат (мы выписали матричные элементы только для переходов из
основного состояния-состояния 0). По своим свойствам функции х<+) и
анало-
гичны блоховским волновым функциям электрона в периодическом поле.
Выразив гриновскую функцию через эти матричные элементы и переходя затем
к компонентам Фурье по времени (подобно тому, как это было сделано в §
8), получим теперь
304
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
вместо формулы (8,7) разложение
Г "- - \ V J Xamk 0"l) %}i/nk (, У-атк (ri) У-ftmk (г2 Gap (со, Г], г2) =
;-----Л)- ' Н--------;--------ггj-~
{ а) + ц_е(+к) + (0 ш + ц-еУ-Ю
(62,3)
е прежним смыслом обозначений е(+) и е<_); во втором члене произведено
переобозначение к->--к.
Наличие незатухающих одночастичных элементарных возбуждений вблизи ферми-
поверхности металла проявляется в том, что при е вблизи энергия состояния
зависит только от к. Для таких состояний функция Gap (со; тх, г2) имеет
полюс при (c) = е(k)-\i. Вблизи полюса она имеет вид
г \ Xak ^ (62 4^
аР ( > 1> г) со-[-)г-e(k) + ('0-sign.OJ ' '
При наличии вырождения по спинам должно еще производиться суммирование по
двум спиновым состояниям.
Определение энергетического спектра по гриновской функции сводится, в
принципе, к задаче о собственных значениях некоторого интегро-
дифференциального линейного оператора.
Основные принципы диаграммной техники в координатном пространстве для
рассматриваемого случая остаются теми же, что и в обычной ферми-жидкости.
В частности, введя собственно-энергетическую функцию 2ар(Л г1( г2) (как
сумму определенной в § 14 совокупности диаграмм), можно записать
гриновскую функцию Gap (t, r1; г2) в виде ряда (14,3), который
суммируется к диаграммному уравнению (14,4). Тонкая сплошная линия на
этих диаграммах обозначает гриновскую функцию G(ali(t,r1 - г2) свободных
электронов - не взаимодействующих ни с другими электронами, ни с
решеткой. Согласно (9,6), эта функция удовлетворяет уравнению
? ^ + 2^ + I1) GS& (^> Г1 - гг) == ^арб (t) 6 (1*! Г2).
Применив слева к уравнению (14,4) оператор (...) и перейдя затем к фурье-
компонентам по времени, получим искомое уравнение
<*> 4~ ц. И-2т') J ^?0' ri' г ^ ((r)> г > гг) d3x =
= б"рб (гх-га). (62,5)
Вблизи полюса б-функции (по переменной со), правая сторона уравнения
может быть опущена, и получается однородное интегро-дифференциальное
уравнение, собственные значения которого и определяют энергетический
спектр системы. При этом
§ 62]
ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ
305
индекс р и переменная г2 не затрагиваются никакими операциями, т. е.
играют в уравнении роль несущественных параметров. Для определения
спектра можно писать поэтому уравнение вида*)
^со -f-1^ + 2m) (г)-J ((r)> г> г ) %у (г ) dsx = (с*> L) % (г) - 0.
(62,6)
Для электронной ферми-жидкости в металле оно заменяет собой обычное
уравнение Шредингера. Его собственные значения определяют, как уже
сказано, спектр согласно со = е(к)-|х; соответствующими же собственными
функциями являются функции %ak(r) из (62,4) (как это очевидно из прямой
подстановки
(62,4) в (62,5)). Поскольку затухание возбуждений вблизи ферми-
