Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
х' = 1, у' = О и, на основании равенства (80),
У" = Ti-,
так что в непосредственной близости отточки P разложения х, у в ряд Тэйлора примут вид
X = S+...,
y=jJcs2+...
Отсюда непосредственно следует, что, в зависимости от того, будет ли Jc > 0 или < 0, кривая будет обращена вогнутостью в сторону положительных у или в противоположную сторону. Обращаясь к обычным единичным векторам t и п и вспоминая, что вектор п, по определению, всегда обращен в сторону вогнутости кривой, мы можем высказать предыдущее замечание так: кривизна h будет положительной или отрицательной в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление вращения от t к п в плоскости кривой с направлением вращения от оси х к оси у, или также в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление вектора бинормали Ь с положительным направлением оси z.
73. Вернемся теперь к случаю тонкого стержня, первоначально прямолинейного и находящегося в состоянии упругой деформации. Так как изгибающий момент Г всегда направлен в сторону, противоположную стороне Ь (качественная гипотеза „а" п. 71), тогда как кривизна Jc = ±с будет положительной или отрицательной, 236 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
в зависимости от того, будет ли сторона Ь совпадать со стороной направления оси г или нет, то количественное предположение (79) в том случае, когда имеем C0 = О, можно написать в более опре-
деленном виде
Г. = -Bk.
Число к здесь можно рассматривать как разность между кривизной (со знаком) в состоянии упругого и кривизной в состоянии естественного равновесия. С этой точки зрения предыдущее уравнение можно непосредственно распространить на случай направляющей, уже искривленной в естественном состоянии равновесия, и написать в виде
Г,= -B(S-S0). (79')
74. Мы ограничимся случаем S0 = Const, т. е. предположением, что в естественном состоянии тонкий стержень имеет форму дуги окружности или, в частности, прямолинейного отрезка. Если усилие Ф (постоянное вдоль тонкого стержня, п. 69) равно пулю и, следовательно, равны нулю силы Fa, Fb, действующие на концах, то из равенства (78) мы увидим, что вдоль тонкого Стержня изгибающий момент Г остается постоянным, так что на основании равенства (79') постоянной будет также и кривизна; т. е. фигурой равновесия плоского тонкого стержня (плоская эластика) будет все еще дуга окружности (или прямолинейный отрезок).
Если Фф0, то достаточно взять ось х параллельной Ф и направленной в ту же сторону для того, чтобы уравнение (78), спроектированное на ось г, приняло вид
as as
Если принять во внимание равенство (79'). и припомнить, что
7 йб dy
S = T- и -у- = sin О, ds ds '
т0 dn
положив
B = ФР
и подставив в предыдущее уравнение, мы получим
т 1-0 /01-V
_=__sln0. (81)
Это и есть дифференциальное уравнение, определяющее плоскую эластику в предположении C0 = const.
Не останавливаясь на аналитическом представлении интеграла этого уравнения, мы ограничимся замечанием, что если стержень уйражнйнйй
23?
в естественном состоянии является прямолинейным и подвергается небольшому изгибу, как это происходит в случае тонкого прямолинейного стержня, заделанного одним концом и подвергающегося на другом конце действию сил, направление результирующей которых мало отличается от направления стержня, то угол между касательной к направляющей в любой точке и ориентированным направлением усилия Ф можно рассматривать как малую величину первого порядка; уравнение (81) сведется тогда к уравнению
т __ В
которое интегрируется в тригонометрических функциях (гл. II, ii. 36).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Стержневая система находится в равновесии в вертикальной плоскости. Три последовательных стержня в одном и том же направлении обхода наклонены к горизонтали под углами а, В, Y- Промежуточные узлы этих трех стержней находятся под действием вертикальных нагрузок р и q. Доказать, что существует соотношение
j> _ sin (а — ?)COST q sin (? — y) cos ol '
2. Показать, что если линии действия сил, приложенных к промежуточным узлам веревочного многоугольника, пересекаются в одной и той же точке О, то веревочный многоугольник лежит в плоскости, проходящей через О. Различные усилия Ф все имеют один и тот же момент относительно точки О.
8. Стержневая система P1P2 ... Pn^1Pn (с чисто узловыми внешними силами) представляет собой простой замкнутый многоугольник, в котором Pn совпадает с P1. Для того чтобы иметь условия равновесия, достаточно отбросить условия на концах (6) и, наоборот, присоединить одно уравнение к уравнениям (5) (приписывая, например, индексу і также значение 1 и замечая^ что индекс 0 должен быть отождествлен с п).
В этом случае точки Q1 и Qn силового многоугольника должны совпасть.
Показать, что существует такая точка О (полюс), что отрезки OQi, OQi,..., OQn-lt по величине и направлению, представляют усилия Фг> (достаточно применить правило, указанное в п. 26).
Как можно определить положение полюса, если заданы длины стержней веревочного многоугольника и силы F1, Fi, ..., Fn, приложенные к узлам?
