Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Ba = O, Ma = О. (5)
Обратно, если удовлетворяются оба эти уравнения, то непосредственно из п. 7 следует (принимая во внимание отсутствие трения и перпендикулярность реакций к оси) однозначное существование двух нормальных реакций Ф, Ф', уравновешивающих систему активных сил.
Если связи наложены не только на цапфы О и О', но также и на другие изолированные точки или на целые отрезки оси, то будут справедливы аналогичные рассуждения с единственной оговоркой, что распределение нормальных реакций (как и в случае закрепленной оси) будет неопределенным. lie
гл. xiit. ста-тякл. твердого тела
Таким образом, мы приходим к следующему результату: для равновесия твердого тела, которое может вращаться вокруг некоторой оси и скользить вдоль нее, необходимо и достаточно, чтобы проекция результирующей активных сил на эту ось и результирующей момент их относительно этой оси были равны нулю.
§ 4. Равновесие твердых тел, опирающихся на другие твердые тела
12. Если твердое тело опирается на другие тела в одной или нескольких точках, то в этих точках возникают реакции Ф; на основании замечаний п. 4 мы получим условия равновесия, если выразим, что система, составленная из активных сил F и реакций Ф, эквивалентна нулю.
На каждую из этих реакций можно распространить свойства, с которыми мы познакомились в случае одной материальной точки (см. гл. IX, п. 8). При этом мы должны опираться на один постулат, который подсказывается самой природой вещей и подтверждается ежедневным опытом, а именно: мы должны считать, что любая опора P способна обеспечить равновесие, развивая реакцию Ф, заранее неопределенную (и, возможно, равную нулю). Величина этой реакции зависит от действующих сил, но может быть какой угодно, а линия действия всегда остается внутри или на внешней полости конуса трения и совпадает с внешней нормалью (к телу, на котором находится опора), если опора лишена трения или рассматривается как свободная от трения (когда трение очень мало). На основании такого свойства реакции Ф мы всегда можем получить количественные условия равновесия, т. е. условия, которым должны удовлетворять силы F для того, чтобы вместе с реакциями Ф они могли составить систему, эквивалентную нулю.
Если оставаться при общих предположениях, то мы ничего уже больше не сможем прибавить к тому, что было сказано выше.
Перейдем поэтому к конкретным случаям, имеющим большой практический интерес.
1В. Установим предварительно справедливость очень простого и в то же время очень важного правила, заключающегося в том, что в вопросах статйки, отвлекаясь от трения, мы всегда действуем в сторону большей надео/сности.
Этим мы хотим сказать, что выводы, полученные при рассмотрении равновесия без учета трения в опорах, тем более справедливы, когда трение на самом деле имеется, и потому вполне при-ложимы к действительности (где в большей или меньшей степени всегда действует трение).
Убедиться в этом можно непосредственно. Достаточно обратить внимание на то, что если реакции, уравновешивающие силы F § 4. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, ОПИРАЮЩИХСЯ НА ДРУГИЕ ТЕЛА 117
нормальны к поверхностям опор, то они необходимо должны лежать внутри соответствующих полостей конусов трения, как бы эти конусы ни были узки.
Таким образом, когда мы отвлекаемся от трения, то этим мы накладываем на активные силы лишние условия, благодаря чему в некотором смысле гарантируется устойчивость: имеется основание предполагать, что даже в том случае, когда эти лишние условия не будут строго выполняться, то равновесие все же будет существовать, если только речь идет о системе сил S', которая не отличается значительно от системы сил удовлетворяющих указанным условиям. Это следует из того, что, вообще говоря, систему S' можно уравновесить реакциями, приложенными в точках опоры и весьма близкими к реакциям, уравновешивающим систему Е, т. е. лежащими во внешних полостях конусов трения, что как раз и является необходимым-и достаточным для равновесия.
Однако важно отметить, что могут встретиться не только такие случаи, в которых трение способствует равновесию, но и такие, когда равновесие возможно только при наличии трения. Таков, например, случай лестницы, опирающейся своими концами на пол и на вертикальную стенку, который мы будем подробно рассматривать в пп. 17—18. Если бы трения вовсе не было, то равновесие было бы невозможно, как бы мало ни была наклонена лестница к вертикали: опоры не препятствовали бы ей двигаться под действием силы тяжести, скользя вдоль пола и вдоль стены. Поэтому необходимо обязательно принимать во внимание трение, когда мы замечаем, что, пренебрегая им, мы слишком удаляемся от действительности, вводя искусственные ограничения или прямо оставляя в стороне практически интересные формы равновесия.
Обратимся теперь к некоторым важным случаям, когда можно пренебречь трением, благодаря чему исследование очень упрощается,
14. Тяжелое тело на горизонтальной опорной плоскости. Пусть S есть твердое тело, опирающееся несколькими точками P на горизонтальную плоскость. Если число точек опоры конечно, то мы будем называть опорным многоугольником такой выпуклый многоугольник, имеющий все свои вершины в точках Р, что ни одна из опор не остается вне его (между тем как опорные точки внутри него могут существовать). Если число точек опоры задано, то могут представиться различные случаи в отношении числа сторон периметра, в зависимости от конфигурации системы точек Р. Это видно уже в простом случае четырех опор (фиг. 32)> если исключить случай, когда три из них лежат на одной прямой.
