Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
S о
где еи-f представляют собой величины, определенные равенствами (24).
Мы достигнем нашей цели, если покажем, что в производных от U* по X, у, г остается (как и в самом выражении ZJ*) множитель S8 (умноженный на функции, остающиеся конечными, когда е стремится к нулю).
84г. Рассмотрим, например, dZJ*jdx. Так как JJ* зависит от х через посредство р, е, •(, а пределы интегрирования (как пространственные, так и относящиеся к переменной г) постоянны, то достаточно выполнить дифференцирование под знаком интеграла. Заметим, далее, что по определению р имеем
. —1 * — РОя Є ==-1-1-?-3--1--I
S — P ' Ч — COS 0 — р S І- р 8 -1- р S > д і
dp X р _ Ix
дх р ' дх р2 р '
3^ _ __ Jl х_ OY__ J-_fi__? \
дх ~ р ? р ' дх р \ 8 р V'
и, следовательно,
т)}-
^)+(4-7^^(^ ї)}-
Если мы заметим, что xjp и 1/6 — направляющие косинусы
(векторов OP и OQ соответственно), и вспомним, что было сказано выше о поведении функции <р и ее производных, то очевидно, что количество в скобках есть функция F, которая остается конечной и непрерывной (во всей области интегрирования) даже при е, стремящемся к нулю.
Таким образом, получаем
!XSWj(I-T)^x s о
и аналогичные формулы для производных по у и г, откуда видно, что эти производные содержат множителем S3, как мы и хотели показать. 96
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
35. Заметим, что так как уменьшение е = 8/р происходит для заданного притягивающего тела от удаления притягиваемой точки P или от возрастания р, то производные от TJ* будут стремиться к нулю по двум причинам: вследствие наличия множителя е3 под знаком интеграла и делителя р2 перед интегралом. Относительно 1/р (величины, обратной расстоянию от притягиваемой точки) производные от U* будут поэтому пятого, а не третьего порядка и аналогично, согласно равенству (26), функция U* — четвертого порядка. Эти рассуждения не вызывают возражений. Но с физической точки зрения нельзя забывать, что понятия „большая величина", „малая величина" заданного порядка приобретают определенный смысл только при сравнении с другой величиной того же вида.
В настоящем случае характер вопроса подсказывает и величины сравнения: для TJ* следует взять точное значение TJ потенциала, для производных от TJ* — точное значение ^11 величины силы притяжения.
Для оценки можно взять вместо точных значений элементов сравнения первые члены разложения их fm/p и /Wp2, которые соответствуют предельному случаю, когда размеры тела очень малы по сравнению с р и когда масса сосредоточена в О
Составив отношения
U* производная от U*
fm ' fm '
T Tr
мы увидим, что множители 1/р и 1/р2 исключаются и оба отношения оказываются величинами третьего порядка по отношению к е.
То же самое можно сказать и об отношениях
U' производная от TJ*.
IT' Ф '
для этого достаточно написать их в виде
TJ* . JJ_ производная от TJ* , Ф fm ' fm ' fm ' fm '
PP P2 P2
заметив при этом, что TJ: (fm/p) и Ф : (fm/p2) отличаются от единицы членами, представляющими собою, по меньшей мере, члены первого порядка по отношению к е.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Представим себе, что единица длины выбрана произвольно и мы условились принимать за единицу массы массу куба дестиллированной воды (при 4° С и т. д.) с ребром, равным единице длины. Как надо выбрать единицу времени для того, чтобы постоянная всемирного тяготения была равна единице? упражнения
97
Ответ. Заметив, что в единицах CGS / = 6,7-10-8 можно представить
в виде g8g92, мы тотчас же найдем, что искомая единица времени равна
3862 сек., т. е. немногим больше одного часа (натуральный час, предложенный французским физиком Липпманном).
2. Потенциал однородного отрезка AB в какой-нибудь точке P (внешне» для отрезка) можно написать в виде
. PA+NA
«J Ir) -J-
PB + NB '
где ч означает (линейную) плотность и N—проекцию точки P на AB. Предполагая, что отрезок направлен от В к А, и учитывая надлежащие знаки NA и NB, проверить, что значение потенциала не изменится, если мы обменяем местами А и В (и обратим сообразно с этим направление отрезка).
3. Показать, что притяжение а, действующее со стороны дуги окружности на ее центр, тождественно притяжению материальной точки, помещенной в средней точке дуги. Масса материальной точки должна относиться к массе дуги так же, как длина дуги к длине соответствующей хорды. Следовательно, имеем формулу
2f*i sin а
где: ч— линейная плотность дуги;
2а — центральный угол (в радианах), соответствующий дуге; JR — радиус дуги.
Для полуокружности, в частности, будем иметь
І. При значениях букв, указанных в упражнении 2, рассмотреть окружность с центром в P и радиусом PN и дугу G (содержащую точку N), отсекаемую на этой окружности отрезками PA и PB. Притяжение отрезка ^dLB в точке P тождественно притяжению дуги С (предполагаемой также однородной и с плотностью ч, как у отрезка). Отсюда следует (предыдущее упражнение), что притяжение в точке P бесконечной прямой (которая получается в виде предельного случая, если представим себе, что точки А и В удаляются в бесконечность в противоположные стороны) направлено по PN и равно 2fv/PN. См., например, Tarleton, An introduction to the mathematical theory of attraction, т. I (Лондон, 1899), стр. 7.
