Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
п
(1)
І — 1
которая, очевидно, является единичным потенциалом, т. е. потенциалом силы, которую испытывала бы единичная масса, помещенная в положение Р.
Функция U, рассматриваемая как функция от координат х, у, z точки Р; очевидно, будет конечной и непрерывной для всех значений аргументов, при которых не обращается в нуль ни один из знаменателей ги т. е. для всех точек пространства, за исключением притягивающих точек Qi. Когда точка P приближается к какой-нибудь одной из точек Qi, то один (и только один) из знаменателей Ti стремится к нулю и функция U (х, у, z) вследствие этого неограниченно возрастает.
Очень легко показать, что производные от U какого угодно порядка тоже непрерывны во всякой точке, за исключением точек Qi. Это имеет место, в частности, для первых производных, или проекций силы притяжения, что следует также из закона обратной пропорциональности квадратам расстояний.
6. Для всякой системы значений х, у, г, за исключением значений хи Iji, zu остаются в силе обычные правила дифференцирования. Применяя их к функции 1/ги последовательно найдем,
03- 1 , V.
гJ_ ж — Xi Ti __1 і (аг — Xi)1
~дх rf~ ' Tf ' tj § 2. потенциал
69
и аналогичные формулы для переменных у и г. Складывая три вторых производных и принимая во внимание, что
(х — ж,-)2 (у — у,-)2 -)-(^ — Si)2 есть не что иное, как тождественно получим
ffs 1 аз -1 аг_1
Tjt і і Tjr „
дж2" ~дуї "Г ~дЖ = и'
Отсюда для потенциала U тотчас же получится уравнение
дчт, ,
дх1 "Г d,? T д^ ~~ ' у >
представляющее собой уравнение с частными производными второго порядка; потенциал TJ (х, у, в) удовлетворяет этому уравнению в каждой правильной точке (т. е. во всякой точке, в которой функция U и ее производные остаются конечными и непрерывными), или, иначе, в точке, отличной от притягивающих масс.
Уравнение (2) обычно пишется в сокращенной форме
A2f7=0, (2')
где через A2 обозначен дифференциальный оператор
JL _L ^L. J-U
дх* "Г <Эу2 "Г dz*'
применяемый к любой функции от X, у, 8. Оно называется уравнением Лапласа1) и имеет основное значение не только для теории потенциала, но также и для других областей чистого и прикладного анализа.
7. Все предыдущее распространяется со случая конечного числа притягивающих материальных точек на случай (более соответствующий действительности) масс, непрерывно распределенных внутри некоторой области трех, двух или одного измерения, т. е. на случай материального тела, поверхности иди линии С.
Представим себе, как обычно, тело С разделенным на части ДО, каждая из которых рассматривается как материальная точка с массой Дт, локализованной в какой-либо геометрической точке Q области пространства, занятой частью ДО тела.
1J Лаплас Пьер Симон родился в 1749 г. в маленьком городке Вомоне на северо-западе Франции, умер в Париже в 1827 г. Известен не только результатами, полученными им в небесной механике и • в различных областях математической физики (в частности, в акустике, в теории капиллярности и в электромагнетизме), но также своими трактатами по небесной механике (в пяти томах) и по теории вероятностей и произведениями: „Exposition du Systeme du mond" (в двух томах) и „Essai philosophise siir lea probabilities", 70
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
Обозначим через г расстояние точки Q от притягиваемой точки P (которая, конечно, предполагается внешней для области 8, занятой телом С и, следовательно, отличной от любой точки Q) и рассмотрим сумму
Am
T'
распространенную на различные части АС.
Если введем плотность р. (которую надо считать, как обычно, конечной и, вообще говоря, непрерывной функцией от точек области 8), то, как известно, интеграл
U=ZfJZdS, (В)
s
распространенный на область 8, представляет собой предел, к которому стремится сумма f 2 -^r > когда число частей ДС, на которые мы делим тело, стремится к бесконечности по какому-нибудь закону, а объем Ь.8 каждой части стремится к нулю. Обоснование этого определения по существу тождественно с тем, которое было дано при выводе формул, определяющих положение центра тяжести (гл. X, п. 15), а также при вычислении моментов инерции (гл. X, п. 31). Достаточно, чтобы была определена плотность и чтобы функция под знаком интеграла, т. е. в наетоящем_,случае функция ^jrt была интегрируема. Если ограничиться, как мы условились, притягиваемыми точками Р, внешними для области S (вследствие чего г остается всегда > 0), то можно утверждать, что ^jr является интегрируемой функцией, так как оба множителя jj. и 1 /г интегрируемы; последний является, кроме того, конечной, непрерывной и дифференцируемой функцией как координат 5, -q, С любой притягивающей точки Q (по которым должно выполняться интегрирование), так и координат х, у, з притягиваемой точки Р.
Далее, если мы будем рассматривать интеграл J*-^d$KaK функ-
s
цию от координат х, у, s точки P (которые входят в подинте-гральную функцию в виде параметров), то можно утверждать, что интеграл представляет собой функцию конечную, непрерывную и сколько угодно раз дифференцируемую; так как, кроме того, пределы области интегрирования не зависят от параметров х, у, з (потому что при изменении P область 8 остается неизменной), то можно еще применить правило дифференцирования под знаком интеграла и, принимая во внимание, что [і есть функция точки Q
