Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся к этому случаю и изобразим оба шкива в виде Qy двух окружностей С и C1 ' (фиг. 80); обозначим через О и O1 их центры, т. е. следы соответствующих осей, через A, A1 и В, B1 — точки касания Р, общих касательных к двум окружностям (внешних или внутренних в зависимости от того, будет ли передача открытой или перекрестной).
Ремень расположится приближенно по замкнутому контуру, состоящему из двух дуг окружностей ABB, A1P1B1 и из двух прямолинейных отрезков AA1, BB1. Предполагая для определенности, что C1 является ведущим шкивом и шкивы вращаются в стороны, указанные на фиг. 80 стрелками, будем называть отрезок BB1 ремня (в котором движение обращено к ведущему шкиву) ведущим, а отрезок AA1 ведомым.
При установившемся режиме точки ремня движутся с постоянной скоростью, которая передается наружным (рабочим) поверхностям ободов шкивов. После того, как материальный элемент ремня приходит в соприкосновение в положении А (или B1) с материальным элементом шкива С (или шкива O1), он остается в соприкосновении с тем же самым элементом до положения В (или соответственно A1).
Поэтому, обозначив через г и T1 радиусы шкивов С, C1 и через <о и (O1 угловые скорости установившегося движения (соответственно вокруг О и O1), мы получим, приравнивая линейные окружные скорости,
(15) 310
гл. xvi. относительное равновесие
29. Предположим, что на ведущий вал O1 (равномерно вращающийся с заданной угловой скоростью Oi1) накинут ремень для того, чтобы заставить вращаться с угловой скоростью <о другой вал О, преодолевая некоторые сопротивления, момент которых относительно оси вращения (точнее, абсолютную величину этого момента) мы обозначим через у.
Согласно уравнению (15), мы должны выбрать радиусы т и T1 обратно пропорциональными угловым скоростям <о и M1. Что же касаетбя ремня, то ясно, что он, во-первых, не должен быть натянут слишком слабо, потому что в таком случае или на него не было бы воздействия со стороны шкива C1 или же он сбегал бы с обода шкива (или даже с ободов обоих шкивов), не сообщая валу О желательного вращения. Но ясно также, что ремень не должен быть и слишком сильно натянут, так как в этом случае увеличится бесцельно трение (между осями валов и соответствующими подшипниками) и, следовательно, потребуется большая мощность у ведущего вала.
Для того чтобы рассмотреть точнее этот вопрос, определим различные силы, действующие на шкив С и неизменно связанный с ним вал, имея в виду, что по существу речь идет о твердом теле с неподвижной осью, находящемся в равномерном вращении, и что, следовательно, силы должны удовлетворять соответствующему условию относительного равновесия, т. е. должен исчезать результирующий момент относительно неподвижной оси всех внешних сил, действующих на шкив С (центробежные силы ничего не прибавляют к этому моменту).
Действительно приложенными силами будут:
1) Силы, с которыми ремень действует на шкив С вдоль дуги AP В. Их результирующий момент равен (п. 27) гДГ. Так как в предположенных условиях касательные составляющие этих сил действуют
вдоль дуги APB в сторону от А к В, то (согласно замечанию в конце п. 27) будем иметь
ТВ>ТА и Д T = Tb-Ta.
2) Различные сопротивления, которые можно разделить на полезные и вредные (пассивные сопротивления).
Результирующий момент первых представляет собой данную величину, которую мы обозначим через f.
Пассивные же сопротивления, между которыми преобладающим является трение оси о подшипники, наоборот, существенно зависят от натяжения ремня. Обозначим неизвестный заранее момент пассивных сонротивлений через а. Тогда f H- а будет общим моментом сопротивления.
Поэтому будем иметь
гДУ=т + а. (16) § й. ремённые пёреда.чи
Sil
30. Задача, которую мы теперь будем рассматривать, заключается в следующем. Подобрать натяжение ремня так, чтобы:
а) части ремня, налегающие на внешние поверхности ободов, находились в относительном равновесии;
б) выполнялось равенство (16);
в) пассивные сопротивления были сведены к минимуму. Заметим сначала, что при условии хорошей работы передачи величина а должна представлять собой незначительную часть от у, так что равенство (16) (с приближением, достаточным для практически интересных случаев) может быть заменено равенством
г№ = ч. (16')
Условие заключается, таким образом, в том, что разность между
натяжениями на концах дуги A PB должна иметь заданное значение.
Далее, легко видеть, что для выполнения условия „б" надо уменьшить, насколько возможно, натяжение или, если задана разность AT =Tb — Ta между значениями натяжений па концах, уменьшить, насколько возможно, Ta (конечно, нри выполнении условия ,',а", обеспечивающего относительное равновесие по отношению к С).
Мы пришли таким образом к условиям п. 25, и, следовательно, для ответа на вонрос задачи должны присоединить к уравнению (16') предельное соотношение (14) [или (14'), если угловая скорость не слишком велика].
Если в равенство (14) внесем вместо Tb значение T^-f-f/V» полученное из соотношения (16'), то для определения Та окончательно будем иметь уравнение
