Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
N
ZL=JFi-ZPi^O. (18)
і=1
Далее, легко видеть, что мы будем в состоянии обсуждать задачу о равновесии системы 8, когда будем иметь наиболее общие выражения для N сил Fi, удовлетворяющих соотношению (18) на всех перемещениях, определяемых соотношениями (15), (16). 2?) xv. ййшцйй виртуальных работ и аналитическая статика
Действительно, получив такие общие выражения, мы сможем определить, является ли данная система сил Fi способной удержать систему S в равновесии, проверив, войдет ли она в эти общие выражения при надлежащем выборе содержащихся в них произвольных постоянных.
31. Обратимся поэтому к только что сформулированной задаче. Заметим прежде всего, что если среди односторонних связей (16) имеются только позиционные, то мы можем ограничиться рассмотрением системы только для тех конфигураций, которые являются предельными для каждой из этих связей (гл. VI, п. 21), так как в противном случае, по крайней мере, одно из условий (16) перестало бы быть действительным и мы имели бы аналогичную задачу с меньшим числом односторонних связей.
При таком предположении для сил Fi легко найти выражения, зависящие от произвольных постоянных и удовлетворяющие, при любом выборе этих постоянных, условиям равновесия (15), (16), (18). Действительно, взяв f-f-s каких угодно постоянных величин Xlt Qc = 1, 2, .. ., г) и Hj-(І = 1, 2, ..., s), положим J)
г з
Fi = — 2 haM—2 {'Лі- (і»)
fc=i J=і
Сумму работ 8L = ^lFi • SPi этих сил Fi на любом переме-к-1
щении SPi можно выразить, принимая во внимание равенства (17), в виде
Г 8
S І = — 2 XlcBlc—2 (IjUj; к=1 j' = l
отсюда мы заключаем, что для всех виртуальных перемещений системы S, определяемых соотношениями (15'), (16'), силы Fi, определенные выражением (19), действительно удовлетворяют условию равновесия (18), как бы ни были выбраны постоянные Xli, но при условии, чтобы постоянные все были отрицательными (или нулями).
Таким образом, равенство (19) дает выражения для бесконечно большого числа систем сил, под действием которых рассматриваемая нами система будет находиться в равновесии.
Произвольные коэффициенты Xk, [1? (последние подчинены ограничениям y-j 0) называются множителями Лагранжа.
1J В »тих обозначениях знак минус поставлен для того, чтобы сохранить обозначения Лагранжа, который, исходя из своего принципа виртуальных скоростей и обращаясь впервые к систематическому использованию неопределенных множителей, пришел к условиям равновесия, эквивалентным условиям (19), но имеющим скалярную форму. § 7. общая (аналитическая) статика 271
32. В рассуждениях предыдущего пункта остались нерешенными два вопроса:
а) Являются ли существенными в выражениях (19) множители Aft, [Aj, в том смысле, что при изменении их будут изменяться также и соответствующие уравновешивающиеся системы сил FiI
б) Дают ли равенства (19) наиболее общую систему сил, способную удержать в равновесии систему St т. е. получится ли всякая такая система сил из равенств (19) при надлежащем выборе МНОЖИТелеЙ Xi, [Ij ?
Покажем, что легко ответить утвердительно на оба эти вопроса, если остановиться на вполне приемлемом для приложений предположении, что общее число S связей (15), (16) меньше, чем 3N, т. е. меньше числа составляющих вариаций SP1 и что уравнения
Bh = О, Uj = о (fc = l, 2, з = \, 2, ...,в) (20)
независимы между собой.
Это последнее предположение означает, что никакое из уравнений (20) не является следствием остальных, или, другими словами, между левыми частями уравнений (20) не могут существовать тождества "с постоянными коэффициентами вида
Г 8 _
2??+2^^-=0, ft= 1 j'=l
если не все множители равны нулю.
Отсюда получается ответ на вопрос „а". Действительно, если одна и та же уравновешивающаяся система сил Fi допускает два различных представления (19) (одно с множителями Aft, fift, другое С множителями k'h, Jj/.), то путем вычитания мы получим N тождеств
Г 3
2 ih — > 'к) «Ы+2 (ft — ft) = О (і = 1,2,..., Ат), ft=l j-1
которые, после умножения на SPi и почленного сложения дали бы тождество
Г 8
2 (h — 4) -Bft + 2 (ft ~ ft) Uj = 0; ft=і j=і
из этого тождества, вопреки предположению, следовали бы равенства
Ai = Aft, ft = ft (? = 1, 2, ..., г; j = 1, 2, ..., s).
Поэтому заключаем, что равенства (19) дают оо различных уравновешивающихся систем сил.
33. Переходя к вопросу „б" предыдущего пункта, заметим прежде всего, что с кинематической точки зрения уравнения (20) 272 гл. xv. принцип виртуальных работ и аналитическая статика.
определяют только обратимые виртуальные перемещения системы 8 (для какой-либо ее предельной конфигурации). Уравнения (20) являются линейными и однородными по отношению к т неизвестным Ixi, 8у{, 8,г,-; так как, по предположению, число их меньше 3N и они между собой независимы, то существуют n = sN — r — s линейно независимых решений этих уравнений, так что общее решение получится посредством линейной комбинации этих" il частных решений с п произвольными коэффициентами.
Этому общему решению мы можем придать наглядную и удобную форму, заметив, что каждое из п частных решений, рассмотренных выше, дает 3iV проекций векторов SPi (г = 1, 2,...,N), соответствующих какому-нибудь частному обратимому виртуальному перемещению системы 8; обозначая через
