Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
бодного полета и мгновенных соударений, что далеко не всегда
можно сделать. Так, даже в таком простейшем случае, как
рассеяние на ионах примеси, взаимодействие никак нельзя считать
мгновенным. В этом случае электрон постепенно отклоняется от
направления своего первоначального движения все время, пока
находится в поле иона; при этом, если прицельное расстояние b
(рис. 5.1) будет сравнимо со средним расстоянием между ионами (а
это как раз наиболее типичный случай), то отклонения
248
на любых участках траектории будут сравнимы, и понятия
столкновения и времени свободного пробега должны быть
существенно пересмотрены.
Существует ряд случаев, когда теория требует более
радикального пересмотра. Наибольшие трудности в этом
отношении представляют вещества с малой подвижностью; в
частности, случай, когда длина свободного пробега электрона
меньше его длины волны,
КК (5-10)
значительно более сложен.
Уже само соотношение (5.10) показывает, что ситуация требует
тщательного анализа - трудно представить волну, которая
рассеивается (или затухает), не совершив ни одного колебания; но
неравенству (5.10) можно придать еще более наглядный вид,
воспользовавшись соотношением де Брой- h
ля % = - и заменив длину свободного пробега через время I = XV.
trr< -- или mv2<z~- (5-П)
mii х ' '
Однако согласно принципу неопределенности Л/т есть
неопределенность энергии электрона. Таким образом, согласно
(5.11) неопределенность энергии электрона становится больше
его кинетической энергии. Это значит, что взаимодействие
электрона с дефектами или колебаниями решетки (фононами) так
велико, что электрон уже нельзя рассматривать как
самостоятельную свободную частицу (даже с поправкой на
эффективную массу), а само взаимодействие - как
последовательность независимых столкновений (переходов). Если
причиной неравенств (5.10) и (5.11) является взаимодействие
электрона с примесными ионами, то мы должны учесть их влияние
на энергетический спектр электрона *).
*) Мы уже упоминали, что за последнее время рядом авторов
разработана теория ионных полупроводников с малой подвижностью, в
которой учитывается сильное взаимодействие электронов с фононами,
приводящее к образованию так называемых полярон- ных состояний с
характерной для этого случая экспоненциальной зависимостью
подвижности от температуры (в определенном интервале температур) [9].
249
УЧЕТ НЕПОСТОЯНСТВА ВРЕМЕНИ СВОБОДНОГО
ПРОБЕГА
Выше, при вычислении средней скорости электрона, мы сразу
же заменили время свободного пробега его средним значением,
никак это не обосновав. В действительности же время свободного
пробега может зависеть от целого ряда факторов (эффективной
массы и энергии носителей, температуры, характера и числа
рассеивающих центров), и выявление этих зависимостей - одна из
главных задач теории явлений переноса.
Мы вернемся к этому в следующем параграфе, а теперь начнем
с учета статического разброса времени свободного пробега. При
этом мы сделаем простейшее и наиболее естественное допущение:
предположим, что вероятность того, что электрон столкнется в
течение промежутка времени dt, пропорциональна dt/x, где 1/т -
пока неизвестный параметр.
Обозначим вероятность того, что электрон летел в течение
времени t без столкновения р (/). Тогда вероятность того, что
электрон пролетел время t без столкновений, а затем испытал
столкновение за время dt, будет равна произведению вероятностей
этих двух событий:
Но это dw(t) и есть уменьшение р (/) за время dt: dw=-dp\
следовательно,
(если начать отсчет с момента после столкновения, когда р= 1).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы вычислить все величины:
dp= - р- и р - в
Т
(5.12)
оо
~t= ^ t dw(t) = т,
(5.13)
т dt
о
(5.14)
250
Таким образом, действительно, двойка в знаменателе выражения
для подвижности (5.2) была лишней.
Мы видим из (5.13) и (5.14), что введенный нами параметр т
приобретает двоякий смысл: это и среднее время между
столкновениями, и время релаксации системы; мы к этому вопросу
вернемся еще раз позднее, а теперь введем еще некоторые
уточнения в понятие соударения.
При своем движении в направлении электрического поля
электрон приобретает не только дополнительную скорость
поэтому для того чтобы поддерживалось стационарное состояние,
необходимо существование таких соударений, при которых
электрон мог бы терять не только направленный импульс, но и
дополнительную энергию. Столкновения первого типа, т. е. без
значительной потери энергии, называются упругими, второго -
неупругими.
Покажем, что столкновения электронов с примесными атомами
(без возбуждения последних) и с фононами являются почти
упругими.
В тепловом равновесии средние кинетические энергии
электронов и атомов должны быть одинаковы и, следовательно,
средние скорости атомов V в If т!М раз меньше (М - масса
атома), чем скорость электронов v0 *>, поэтому пренебрежем
