Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 12.13. Ньютоновское тяготение обладает характерным свойством мгновенного «действия на расстоянии», причем одновременность определяется в ньютоновской теории с помощью срезов поля «универсального времени» t. Мы хотим найти релятивистски-инвариантное выражение для гравитационного ускорения в некоторой точке, записанное через распределение плотности вещества Tiiy в остальной части Вселенной. Будем считать, что пространство-время всюду обладает метрикой Минковского. Поскольку в искомое выражение должна входить только компонента T00, мы с самого начала будем использовать свертку тензора Tilv с двумя векторами «универсального времени»:
VM-W (или /,«rtff.?).
Тогда гравитационное ускорение для частицы, находящейся в точке X и взаимодействующей с остальным веществом по закону-«обратных квадратов», будет иметь вид
Г f I •т (*') •W M '
- , (M)'
•• = const
где 1 — пространственноподобный вектор, соединяющий точки х' и X, a d3x' — элемент собственного объема на срезе с постоянным значением t. Это выражение еще не согласуется со специальной теорией относительности, так как вектор а не обязательно будет ортогональным 4-скорости частицы и. Следовательно, мы должны еще ввести некоторый проекционный оператор, после чего и получим окончательный ответ:
аграв = G J + (u -I)u]dV.ГЛАВА 10
329
Это выражение явным образом согласуется со специальной теорией относительности, поскольку оно, во-первых, содержит в себе только геометрические объекты и, во-вторых, определяет некоторый геометрический объект а (для которого а-и = 0). Согласно этой теории, можно посылать сигналы со скоростью больше скорости света, изменяя распределение масс в какой-го точке. Тогда гравитационное поле будет меняться на поверхностях с постоянным значением t, а поскольку эти поверхности пространственно-подобны, то они находятся вне светового конуса для всех наблюдателей. Тем не менее теория не является акаузальной, так как мировая линия каждого наблюдателя времениподобна, a t всегда возрастает в направлений его будущего. Подобным же образом t возрастает вдоль любого светового луча, который посылает наблюдатель. Следовательно, любой сигнал может в крайнем случае связывать события с одинаковыми t, но ни одна последовательность сигналов не в состоянии вернуться к данному наблюдателю в момент времени, предшествующий их испусканию. Эта ситуация диаметрально противоположна случаю тахионов (задача 1.6), которые действительно являются акаузальными. Разница состоит в том, что в рассматриваемой задаче скалярное поле t уже содержит в себе некую «предгеометрию»: оно расслаивает пространство-время так, что при этом существует определенная универсальная упорядоченность времени, тогда как способ, которым «разрезают» пространство-время тахионы, меняются от наблюдателя к наблюдателю.
Решение 12.14. Будем рассматривать разность высот между частицами как вектор г) == (разность высот) ег\ тогда относительное ускорение, обусловленное гравитационными силами, равно
Поскольку частицы начинают двигаться из состояния покоя, то, если ограничить наблюдения коротким промежутком времени, можно считать, что Ut^ 0, и поэтому
Компонента тензора Римана легко вычисляется для случая слабого поля:
Благодаря полю E расположенная ниже частица будет испытывать вертикальное ускорение
--P'ozorf-330
РЕШЕНИЯ
Следовательно,
dt* ~ 23 m
_ ш _ Я_ Е I m
Тот факт, что два члена в правой части кажутся вполне сравнимыми по величине, может поначалу вызвать некоторые опасения. Предположим, однако, что протяженность нашей лаборатории в пространстве-времени ограничена размерами Ax^^L. Тогда к концу эксперимента гравитационные силы изменят разность высот между частицами Tf на величину
St Z 1 Ш Zli
OTf ~ 2*^3 TfL2.
Поскольку Tf<L,
8r\* = 0(Ls).
С другой стороны, изменение разности высот, обусловленное электрическим полем, равно
вт]*~—EV = 0(11).
Таким образом, если в достаточной степени ограничить простран-ственновременные «масштабы» нашего эксперимента, то можно будет пренебречь гравитационными эффектами.
Решение 12.15. Геометрический объект, описывающий заряженную частицу, есть скаляр, вектор, тензор 2-го ранга и т. д. для спина, равного 0, 1, 2 и т. д. соответственно. Так, например, выражения для плотности заряда частицы с зарядом покоя q0, движущейся вдоль мировой линии Xfi = Zil (х) с 4-скоростью и, суть:
(скаляр) р (x°) = q0 5 O4 [я11 — Z11(T)] dt (для спина 0); (вектор) Jfl (х°) = q0 J м^б4 [ха — Z0 (т)] dx (для спина 1); (тензор 2-го ранга) Tiiv(Xa)= (1)
= q0\uPuybi[xa-za (x)]dx (для спина 2);
(тензор s-ro ранга) T14v-P(Xa) =
= q0\uvuv...up8i[xa — za(x)]dx (для спина s).
Заряд частицы в некотором лабораторном объеме, измеренный по «кулоновской» части силового взаимодействия в лабораторной системе отсчета (л. с. о.), дается выражением
q = \T00-0d3x = (—1 )•* $ TaP••• ?ил.с.о.ил.с.о....„л.с.о.(2) Подставляя уравнение (1) в уравнение (2), мы находим измеренноеГЛАВА 10
331
значение заряда отдельной частицы: