Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
б) В ортонормированном репере
IVa? + Гацр = V Vpea + е„ • Vpe11 = Vp (Єц • ej = V? (%*) = 0-Решение 8.13.
а) Воспользуемся тем («обычное правило дифференцирования»), что для любого векторного ПОЛЯ V
Хх(\, V) = (ХЛ, V) +(A, Xxt V). (1) 256
РЕШЕНИЯ
Для компонент 1-формы XxA получим следующие выражения: (XxA)a^XxAa= (XxAt еа> = Xx (А, еа)-<А, Xxta) = = Aa^x*-(А, [х, еа]> = = Aa, - Ay [х%, еа]> = = Aa, ^ - Ay <?v, (ЛраЧ - лгр,аер» =
= Aa, рХр+*р,аЛэ - AyXhpaV, (2)
В координатном репере последний член обращается в нуль. Соотношение (1) позволяет записать производную Ли иначе:
(XxA)a = Vx (A, 0-<А, (Vxea-Veax)) = <VXA, ea) + <A, Veax) = = Ла;рхр + хр:аЛр. (3)
Коэффициенты связности в действительности не входят в определение производной Ли. Они выпадают, и соотношение (3) переходит в соотношение (2).
б) Для простоты будем производить вычисления в координатном репере:
XJ = Xx(Tapa®Sfl) =
= (XxTa9) ea <g> йЗ + (XxCa) о «SP + 7Va <8> («S?x©p) =» = Tafi, yxvea <g) 5>p - TafiXVi aeY 8ЙЧ 7V?. Vea ® ®v = = (T\ yXv - 7Va и + T\x», „) ea ®
Производную Ли тензора Ta ? часто записывают в л йде
XxTab = Ta3. Yxv - T Vа. ц + Т\х», р.
Как и в п. «а», запятые можно заменить точками с запятой.
Решение 8.14. В точках P0 и P1 рассмотрим два касательных вектора A (P0) и A (P1) с началом в точке ?. = 0 и концом в точке K = AK = 0(в). [Примечание. На фиг. 17 приращение параметра ДА, выбрано равным 1, поэтому векторы А достаточно велики и «вектор разности» К для наглядности показан преувеличенно большим.] Предположим, что в точке P1 построен вектор B(P1), соединяющий точку P1 с точкой P0. Вычислим, сколько «не хватает» векторному полю В, чтобы его векторы соединяли точки с равными значениями К вдоль конгруэнции А, т. е. вычислим вектор К:
К = [В (P1) + A (P0)] - [A (P1) + В (P3)] = = [В (P1) - В (P3)] - [A (P1) - A (P0)] = = AxBv teY + © (A2B) - BxAv, teY + © (B2A) = = [А, В] + 0(є3), если |А|~0(е)~|В|. ГЛАВА 9
257'
Следовательно, в пределе, если векторы А и В бесконечно малы, то
K = [А, В] = ^aB.
Таким образом, вектор К обращается в нуль, если Х\В = 0, т. е. если вектор В «перенесен по Ли» вдоль векторного поля А.
X=Z
Фиг. 17.
Решение 8.15. Свертку можно рассматривать как умножение на постоянный тензор SP4 (дельта-символ Кронекера). Но производная Ли тензора 6% равна нулю, что нетрудно доказать в координатном репере.:
Xx (6%) = 6%, ^ + Ь\х%, V - б V, ?. = 0 + ^iV-^,v = 0.
Следовательно, оператор свертки коммутирует с оператором Xx,
Решение 8.16. Если операторное тождество выполняется для скалярных функций и для векторных полей, то оно выполняется и для произвольных тензоров, поскольку действие производной Ли на любые тензоры однозначно определяется ее действием на скаляры и векторы (см. задачу 8.13). Если / — скалярная функция, то
XM-XvXJ = XuVJ-XuVJ = [u, v]f = X[u,v]/. Если же w —векторное поле, то
XuXvW - XvXuW - Xiu, v]W=[u, [V, w]] - [V, [u, w]J - [[и, v], w]=0.
Равенство нулю последнего выражения (тождество Якоби для коммутаторов) проверяется без труда (например, в этом можно
9 Заказ 110 258
РЕШЕНИЯ
убедиться, выписав все члены). Таким образом, тождество, приведенное в условии задачи, доказано для скаляров и векторов, а тем самым и для произвольного тензора.
Решение 8.17.
1) Рассмотрим сначала скалярное поле:
ф (Pn) = ф (P0) + [х? (Pn) - (P0)] Ф, „ (P0) +... = Ф (P0) - д. Поскольку Ф —скаляр, то Ф (Pn) = Ф (Pyv) и, следовательно,
ХЪФ = Ф,^.
2) Так как
** (Pn) = х» (P0) = X»(Pn) +
то для векторных полей
4 (Pn) = (д^/дх^) Ail (Pn) = (6«, - g« J All (Pn). Учитывая, что
Avl (Pn) = A11 (P0) -Ali,
получаем
XxAvi = All (P0) - All (Pn) = All (P0) - (8\ -„) (Aa (P0) - Aa, ?») = = A1^-MaSV
3) Аналогичным образом можно рассмотреть и случай, когда геометрический объект обладает свойствами тензора:
7*v (Pn) = (дх»/дха) (dxV/dxv) Т% (Pn) =
= (&а + Vх. а) (O?v - I», v) [TaP (P0) - Т% V|V] = = (P0) - Т\ ^ _ v + а, = Т\ У1У + v - Т%I". а.
Решение 8.18. Для задания параллельного переноса
u<V;a = О
необходимо знать лишь коэффициенты аффинной связности Г\,. Чтобы задать переное Ферми — Уокера
VuV = и (а-v) — a(u-v), a = Vuu,
требуется, кроме того, указать метрику (она необходима для скалярного произведения). Чтобы задать перенос Ли
VuV-VvU=O,
мы должны определить не только касательные векторы вдоль кривой, но и векторное поле вне кривой, поскольку нам необходим градиент и в направлении v, а вектор v, вообще говоря, не ка-сателен к кривой, вдоль которой производится перенос. Хотя ГЛАВА 9
259'
в определение переноса Ли входит оператор V, в действительности оно не зависит от коэффициентов аффинной связности, поскольку вследствие антисимметричности тождества Vuv —VvU = O все Г исчезают. Ясно, что для задания производной Ли метрика не требуется.
Решение 8.19. Если вектор и по возвращении в точку А совпадает с исходным вектором, то его можно продолжить до векторного поля, для которого параллельный перенос из А в В совпадает с переносом Ли из Л в В. Пусть и = (их, иу, иг). Рассмотрим тождество
