Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 15.7.
а) Для почти-ньютоновской планетной орбиты (т. е. при М/г ^ 1) вычислите в низшем порядке по М/г предсказываемое общей теорией относительности смещение периастрия за время одного полного обращения по орбите.
б) Предположим, что центральная звезда несколько сплюснута или вытянута, так что классический ньютоновский потенциал имеет вид
Ф (г) = —М/г-AMfra,
где А зависит от величины сплюснутости или вытянутости. Рассчитайте смещение периастрия за время одного обращения по орбите в низшем порядке по А/г2. (Вычисления являются чисто ньютоновскими.)
в) Предположим, что сплюснутость Солнца столь велика, что скорость смещения перигелия, обусловленная сплюснутостью, и соответствующая скорость смещения за счет эффектов общей теории относительности одинаковы по величине для орбиты Меркурия. Вычислите скорость смещения перигелия (в дуговых секундах за столетие) за счет каждого из этих эффектов для четырех ближайших к Солнцу планет. (Примечание. Для упрощения вычислений всюду в задаче предположите, что орбиты являются почти круговыми — другими словами, что их эксцентриситет пренебрежимо мал.) 84
ГЛАВА Ij
Задача 15.8. Космический корабль, обращающийся вокруг звезды массой M по круговой орбите с длиной окружности 2пг, производит выстрел из лазерной пушки (частота покоя v0). Пушка ориентирована в плоскости орбиты и направлена под углом а (в системе отсчета корабля) к тангенциальному направлению движения наружу от орбиты. Какова частота лазера, измеряемая наблюдателем, покоящимся на бесконечности?
Задача 15.9. Пробная частица с релятивистской скоростью v
пролетает мимо тела массы М, причем прицельный параметр b столь велик, что отклонение Orp8B мало. Вычислите 0грав. Пусть теперь в плоском пространстве пробная частица с зарядом е пролетает со скоростью V мимо ядра с зарядом Ze, причем прицельный параметр столь велик, что отклонение 0мвктромаг мало. Вычислите 0Электромаг- Чем формула для 0грав отличается от формулы
для "влектромаг-
Задача 15.10. Радиокомментатор ведет репортаж о своем падении по радиусу в шварцшильдовскую черную дыру. Перед самым пересечением шварцшильдовского радиуса его частота вещания начинает испытывать сильнейшее красное смещение, описывающееся временной зависимостью вида ехр (— t/const), где t определяется по собственному времени на бесконечности. Зная значение постоянной в экспоненте, определите массу черной дыры.
Задача 15.11. Рассчитайте сечение захвата ультрарелятивистских (t)->с) и медленно движущихся (v с) частиц шварцшиль-довской черной дырой массы М.
Задача 15.12. Предположим, что некто Джон обращается вокруг нейтронной звезды по круговой орбите со значением радиальной координаты г = AM. Его приятель Питер, будучи выстрелен из пушки, находящейся на поверхности нейтронной звезды, в радиальном направлении со скоростью меньше первой космической, встречает по пути Джона, затем достигает максимального удаления и падает обратно, причем ему удается еще раз повидать Джона. Последний к моменту второй встречи успел облететь по своей орбите вокруг нейтронной звезды ровно 10 раз. У Питера и Джона есть одна общая страсть: когда бы они ни встретились, они непременно сверяют часы. В момент их первой встречи на орбите, когда Питер удаляется от звезды, они устанавливают свои часы таким образом, что их показания совпадают. Насколько разойдутся часы, когда Джон и Питер сверят их в следующий раз? ЗАДАЧИ
77
Задача 15.13. Найдите преобразование координат от шварц-шильдовских, где
dsa = — е2(Р dt2 + е2л dr* + г2 dQ\
к «изотропным координатам», где
ds2 = — є*? dt2+в* ((ir2 +f2d?2).
Примените результаты к конкретному случаю метрики Шварцшильда в пустоте и постройте график, изображающий зависимость между координатами (t, /-) и (/, г). Справедлива ли для площади поверхности f = const, / = const формула /4 = 4л/2? Постройте «диаграмму погружения» (см. [1], т. 2, стр. 278 и далее) для пространствен ноподобной гиперповерхности t = О в случае 0< </<00.
Задача 15.14.
а) Покажите, что буст в пространственном направлении е^, вообще говоря, оставляет инвариантными те физические компоненты тензора Римана Rfjij, которые «параллельны» бусту. Этот факт аналогичен инвариантности Ej и Bj для буста в направлении е^.
б) Покажите, что в шварцшильдовской геометрии все физические компоненты тензора Римана инвариантны по отношению к бусту в направлении г, но все эти физические компоненты не инвариантны по отношению к бусту в направлении ft или <р.
Задача 15.15. Покажите, что пространственноподобное сечение р = const (I р I > 1) шварцшильдовской геометрии в координатах Крускала и, v нельзя погрузить в евклидово 3-пространство. Каково общее условие, которому должен удовлетворять наклон dv/du пространственноподобного сечения в шварцшильдовской геометрии, чтобы оно могло быть погружено в евклидово 3-про-странство?
Задача 15.16. Докажите, что метрика
*«=- л.+a d,21) f3
о которой можно думать, что она нестационарна, так как метрические коэффициенты зависят от t, на самом деле является статической. Покажите, что в действительности она представляет Собой не что иное, как метрику Шварцшильда.
