Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
dr,Idx = V, (1)
dm/dx = — Anr2pU, (2)
(3)
Как видно из первых двух уравнений, dr/dx и dm/dt имеют противоположные знаки; тогда для того, чтобы оболочка прошла от 2m/r < 1 до 2m/r> 1, во время прохождения через г = 2т должны
14 Заказ 110418
РЕШЕНИЯ
выполняться неравенства
/«•gO, mSsO. Поэтому в уравнении (3) мы выбираем знак минув:
І—№-')]*•
Итак, радиус будет продолжать уменьшаться, пока
но если радиус уменьшается, масса должна увеличиваться, Что
в свою очередь будет приводить к возрастанию члена ^ — 1 j, и
в результате коллапс не сможет прекратиться.
Предположим теперь, что оболочка сколлапсировала настолько, что 2т/г — 1 = е > 0. Поскольку эта величина продолжает возрастать, приходим к неравенству
dr/dr^e'h,
т. е. оболочка достигнет г = 0 за собственное время с 2т/е*&. [Решением этой задачи мы обязаны Дж. Бардину.]
Решение 16.28. Из задачи 16.25 нам известно, что в случае коллапса в отсутствие давления мы можем выбрать Ф==0. Из равенств GrtK = O (см. задачу 9.20) и Ф = 0 получаем
0 = 2/f+ 1 - г'V2A + f* =х 2гГ +1 - Г2 + Ut,
откуда следует (см. задачу 16,26)
- _ М_
<№*** г*'
Решение 16.29. Из динамического уравнения для массы (см. Задачу 16.26)
т = — 4я ргЧ = 0
непосредственно следует, что масса не зависит от времени; это физически вполне очевидно. Дифференцируя обе части уравнения для Г" из задачи 16.26, получаем
2Г Ґ = 2UU+ij-1 = 2t (г + ,
откуда (см. результат задачи 16.28) видно, что Г также не зависит от времени.
Теперь динамическое уравнение для r(R, т) представляет собой простое дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить в параметрическом виде.ГЛАВА 10
419
Случай а. Г2 - 1 <0.
г-T^-(H-Cosi1), (Ia)
т = ^Ц-(л + 8Іпт]) + F(b), (16)
(l-P)2
где ^(^ — произвольная функция.
Случай б. Г2 - 1 =0.
г = {|(/п (б))'/. [О (6)- т]}'\ (2)
где G (Ь) — произвольная функция.
Случай в. Г2 - 1 >0.
' = S(c1itI-I), <3а>
т = _тф{5ІЇЦ_Ц) + Н {b)f (3б)
(га—i)2
где H (Ь) — произвольная функция.
Заметим, что у нас имеются три свободные функции, т. е. функции, вид которых мы можем задать, исходя из конкретной физической ситуации. Именно, выбирая т(Ь), мы можем выбрать тем самым конкретное распределение масв в некоторый начальный момент времени и во все последующие моменты.
Выбор «постоянных интегрирования» F (b), G(b), H(b) соответствует выбору значения г для каждого элемента жидкости на начальной гиперповерхности, т. е. заданию r(b, /) = 0.
И, наконец, выбор Г2 (Ь) соответствует выбору скорости элемента жидкости на начальной гиперповерхности.
Сравнивая наше уравнение с уравнением для радиальной геодезической, мы видим, что Г'—1 можно рассматривать как сохраняющуюся «энергию на бесконечности» жидкой оболочки. Неудивительно поэтому, что решение соответствует трем режимам: в задаче о разлете жидкой оболочки мы можем придать ей скорость меньше параболической, т. е. «второй космической» (случай а), в точности равную параболической (случай б), или превосходящую параболическую (случай в). Заметим, что вышеприведенные решения симметричны относительно обращения времени, поэтому, например, решение в случае в может описывать падение сферических оболочек на центр (это замечание справедливо также для задач 16.25, 16.26 и 16.30). Обратите внимание на тот факт, что если три свободные функции выбраны неаккуратно, то массивные оболочки могут налететь друг на друга!
14*420
РЕШЕНИЯ
Решение 16.30.
1. Тензор энергии-импульса имеет вид
Tad = рм«ыр.
Предположения о сферической симметрии и равномерном распределении плотности эквивалентны предположению об однородности и изотропии, так что метрика должна представлять собой решение Фридмана
ds2 = — du2 + а2 (т) [d%2 + S2 (х) {dft2 + sin2 ft dy2)], (1)
где
Isin X, если k = 1, X, если k = 0, shx, если k =—1.
Поверхности звезды соответствует некоторое постоянное значение «радиальной» координаты X = Xo- Из вида линейного элемента (1) следует, что собственный радиус звезды, определяемый по длине периметра, есть = й (т) 2 (X0). Уравнения поля Эйнштейна (см. задачи 19.16 и 19.18) в отсутствие давления принимают вид
Ia-A2 _ А , 8яр
[—) - - Tfl + "Г"' (2)
Pfl3 = Const. (3)
Уравнение (2) можно переписать в виде
•¦-даг+-^]- W
Следовательно, если Rt^ = O прн любом конечном значении R, то k должно быть равно -f 1, т. е. р — положительная величина. Наоборот, если k = —1, то RtX никогда не обращается в нуль Случай k = 0 соответствует #>t-»-0 при R-+со.
2. Из уравнения Эйлера в отсутствие давления следует, что VuU = O, т. е. каждый элемент жидкости движется вдоль геодезической. В силу сферической симметрии задачи все геодезические являются радиальными.
3. Мы выполним сшивание для k=+ 1; для случаев A = O и k = —1 сшивание проводится аналогично. Для k=+ 1 уравнения (2) и (3) дают
Сa,r)2 = am/a-l, (5)
где значение постоянной в уравнении (3) было фиксировано тем, что мы положили а равным его максимальному значению: а = = ат = а„акс. когда а т = 0. Уравнение (5) можно проинтегрировать непосредственно в том виде, в котором оно записано; удобно,ГЛАВА 10