Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
п — \ у к (1 —a®/(y—')) ]v • (5)
Если мы хотим найти самосогласованное решение для некоторого постоянного M и некоторого V (г), то соотношения (2), (3) и (5) можно рассматривать как систему уравнений, определяющую M как функцию г и v. Тогда мы сможем найти радиус, при котором течение становится сверхзвуковым, полагая v = a и dM = 0. Сначала мы должны выразить г через а. Используя уравнения (3) и (4) (при V = а), получаем
_2м_
1 — (1 —а2/(у— i))2 (1 —аг) t00' w
где
Подставляя соотношения (6) и (5) в уравнение (3), будем иметь m uq-?/( v-D)]
і
Iv-i
4я [1 _ (1 -efl) (1 - a*/(y -1)? t00]!
is
(7)
Разлагая уравнение (4) в ряд, находим
q-l
тм ««І+—р
и затем продолжаем вычисления с точностью до низшего порядка по а. Из равенства d In Mjda = O получаем
2а*
OO
если VФ5/3, (8а)
и
й«»2.3-''адя, если у = 5/3. (86)
Используя уравнения (8) и уравнение ^6), окончательно находим,
что радиус, при котором течение становится сверхзвуковым, дается формулами
г' = [bT1) ec^ Y^5A (9а) ГЛАВА 10
393
3''1M
г s = -J—, если V = 5/3. (96)
™CQ
Решение 15.19. Для диагональной метрики ЦФ имеет вид ?Ф = V. (УФ)[(- gVV^.?U (1)
? ф = (- [{(- ^)1 оКо + {(- gY'> grr®Ar + + {(-gY,>g™®<>},<> + {(-gY/'gwФ.,}.»]. (2)
В шварцшильдовской метрике, записанной в координатах кривизны,
= grr-i l-2f). (3)
a и g4"*1 имеют тог же вид, что и в плоском пространстве. Легко можно обнаружить, что третий и четвертый члены в уравнении (2) имеют тот же вид, что и в плоском пространстве (вместе с «плоским» оператором момента количества движения L2), и, следовательно, уравнение (2) можно записать следующим образом:
?Ф, _(,-^Уф.и+ > (, +(4,
Тогда из уравнений поля [[]Ф = 0 следует:
Предположим, что Ф можно представить в виде
Ф = І1|>(Г, t)Y/m(ft, ф). (6)
Подставляя (6) в уравнение (5), получаем
+ (7а)
tW-(l-?)R? +^]- (M)
где
Решение 15.20. Уравнения поля Бранса— Дикке можно представить в виде
№V +JliV(O).,, = (Ie)
?Ф = (16)
где каждый член, входящий в Zrixv, пропорционален производным 394
РЕШЕНИЯ
от скалярного поля Ф. В пустоте решение уравнения (16) есть
Ф = const. (2)
Подставляя решение (2) в уравнение (1а), находим
G^iv==O,
т. е. уравнения Эйнштейна в пустом пространстве. Следовательно, шварцшильдовская метрика является решением уравнений поля Бранса —Дикке в пустоте. (Статическая сферически-симметричная вакуумная метрика наиболее общего вида в теории Бранса —Дикке содержит два произвольных параметра, соответствующих массе и скалярному заряду. Сферическая черная дыра обладает нулевым скалярным зарядом и описывается решением типа Шварцшильда.) ГЛАВА 16
Решение 16.1. Поскольку для наблюдателя, неподвижного в системе координат t, г, ft, <р, временная ось направлена вдоль его 4-скорости, то соответствующий базисный вектор должен быть направлен вдоль d/dt и обладать при этом правильной нормировкой. В соответствии с этим выберем в качестве базисного вектора e$ = fd/dt, где величина / должна быть определена из условия нормировки:
—1 = ed' ео = /2• = /2Soo = — /2е2ф. Следовательно, / = е-ф и
Все три направления d/dft, д/дф, d/dr ортогональны d/dt. Выбирая базисные векторы вдоль них и нормируя на единицу точно так же, как и выше, получаем
eP = e^' Ч^^Ш' «* = *-*(/¦ sin ?)-1^. (2)
Базисные векторы, определенные в (1) и (2), образуют ортонор-мированную собственную систему отсчета неподвижного наблюдателя. Дуальные им 1-формы <ла находятся из требования
<o«, eg> = 6«? (3)
и, как легко видеть, имеют следующий вид:
©б = еф dt, S/ = e»dr, to0 = ev-r dft, 8><p = sin ft 5ф. (4)
Решение 16.2. Наблюдатель проводит измерения в своей локальной ортонормированной системе:
е? = <г-фе„ е; = е-*е,, = /¦-%, е* = (г sin Ф)-^;
u'=e®d/, = ^d г, №P = rdft, й>ч> = г sind dip.
Метрика здесь имеет тот же вид, что и во введении в этой главе, только вместо (1—2т/г)~1 у нас стоит е2\ Объем жидкого элемента, измеряемый нашим наблюдателем, равен
V = Д Дйй = eV2 sin ddr Д 3U Д&р = eV2 sin ft dr dft dy. 396
РЕШЕНИЯ
Давление, действующее на противоположные точки вертикальных «стенок» жидкого элемента, одно и то же, но из-за наличия радиального градиента давления верхняя и нижняя «стенки» испытывают различное давление:
I Рмрж. - Риижн I - I P1 I = ! |.
Следовательно,
I ^выталк I = I (Рверх - Рнижи) X ПЛОЩЭДЬ ПОВврХНОСТИ j =
=! о)» I = I р, re-x V |.
Так как выталкивающая сила направлена по радиусу, то
Рвыталк = e~kp,rVt; = (l p.rVtf.
Подставив значение р,г из уравнения Оппенгеймера — Волкова, находим
(р+р) (т+4яг3р) Ve, F = —F ___-.
¦ грав ¦ выталк 1 '
"('-W
В ньютоновской теории этот результат имел бы вид
Решение 16.3. Сферически-симметричная метрика может зависеть только от t, dt, г, dr и dft2+ sin2ft d<p2:
ds2 = — A(r, t)dt*+ В(г, t)dr2 + 2C(r, t)drdt + + D (г, О (dft2+ sin2 ft dtp2).
Выберем в качестве новой радиальной координаты г' =D2 (г, t). Опуская штрихи, будем иметь
