Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
P = Z2(Z2)-Z1(Z1).
Из Z2 = 0 следует
Z2 = Z1-HP,
откуда
P = Z2(Z1-^P)-Z1 (Z1) ^ ъ Z2 (Z1) + vHz,! dt | ^ + i^l -?-1 ^ _ Z1 (Z1) =
Решая относительно ?, получаем
P = (1-е) '
Следовательно, 12 Заказ 110 ГЛАВА 12
Решение 14.1. Найдем сначала, какой тензор энергии-импульса соответствует точечной частице. Пусть масса частицы есть т. В мгновенно сопутствующей системе все компоненты Tvjv обращаются в нуль, кроме T0которая дожна иметь вид 6-функции от координат частицы. Поэтому
Piv ~ J б4 (ха - ха (т)) иУ-иУйт,
где Xа (т) — траектория частицы в пространстве-времени как функция ее собственного времени т. Далее, мы хотим, чтобы величина Tliv преобразовывалась как тензор. Произведение Uv-Uv уже преобразовывается как тензор, но б4 (Xа — Xa(T)) не есть скаляр—истинным скаляром является б4(Xа — Xа(т))(—g)~l/2. Действительно,
1 = скаляр = J б4(ха-xa(T))d4x= (О
Таким образом, нормируя на массу т, будем иметь
T»v = m[ б4 (х° - ха (т)) иЫ\ dx == [ puWdx, (2) J (— g) J
где р включает в себя все члены, за исключением 4-скоростей и. Далее,
О = 7^v;v = 5 [(PUv)=V"*1+(p«v)«%] dx. (3)
Умножая скалярно на и», получаем
0 = 5[-(puv);v + p(VuU)-u]dT. (4)
Второй член равен нулю, поскольку 4-ускорение yuu ортогонально 4-скорости. Отсюда следует, что первый член также равен нулю, и поэтому из уравнения (3) находим
O = J(PUv) и*-л4х.
Это означает, что UvU^v = 0, независимо от того, в какой точке плотность р (б-функция) отлична от нуля, т. е. в каком месте ни находилась бы частица. Но ведь uvu?;v = 0 и есть уравнение геодезической! ГЛАВА 10
355
Решение 14.2. Если система находится в тепловом равновесии, то суммарный поток энергии между любыми двумя элементарными объемами А и В (фиг. 27), для которых разрешен обмен энергией, будет равен нулю. Представим себе теперь «световод», соединяющий два таких элементарных объема; по нему может распространяться переносящий тепло поток фотонов. Поскольку и световод, и вся система статичны, энергия фотона при внутреннем отражении в световоде не меняется. Тем не менее между А и В существует обмен энергией за счет гравитационного красного смещения:
(AvW(Av)eей)"8.
Воспользуемся теперь тем, что спектральная яркость излучения абсолютно черного тела Bv(Ta) в А изменяется за счет красного смещения любой природы таким образом, что в результате снова получается спектр излучения абсолютно черного тела, но только соответствующий другой температуре: TA,goo --У
TB = [(hv)B/(hv)A]TA. ' ----
Если при этом сохраняется теп- фиг- 27-
ловое равновесие, то именно такова должна быть температура окружающей среды в В, чтобы восходящий и нисходящий тепловые потоки в световоде взаимно компенсировались. Итак,
T(-goo)l/2 = const
в любой точке системы.
Решение 14.3. Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса имеет вид
V™ = (p + p)uW + pg»\ и, следовательно, уравнения движения суть
О = 7*% = (р + p);vM^v + (р + р) (M^vWv + гЛ/%) + P.vg^-
Чтобы получить уравнение Эйлера, спроектируем это уравнение ортогонально и, воспользовавшись проекционным оператором-тен-12*
Световод 356
РЕШЕНИЯ
зором
В результате найдем
о = ZVT^v = = 0 + Pail (р+ Р) "^vWv + 0 + P^vPail =
= (р + р) Ua-,VUV + p.а + P.vUvUa,
т. е. как раз уравнение Эйлера.
Переходя к ньютоновскому пределу (см. решение задачи 14.8), запишем уравнение Эйлера в виде
P0 (1 + я + рIро) (и/iVuv - TaviUaUv) = — Ptj - Ujdpldx. Подставляя значения u°=l, U0 =—1, Uj = Vj, будем иметь p0(dv,/dx + T\j)^-pj.
Но
Г°0/ я« - Г00/ = — у goo, / ^ Ф j,
откуда окончательно получим
dv, 1
= J--P.).
Решение 14.4. Уравнение Эйлера для идеальной жидкости имеет вид
(P + р) VuU = — VP - UVuP-
Из условия наличия гидростатического равновесия следует существование временного вектора Киллинга Согласно задаче 13.9, 4-скорость жидкости должна быть параллельна этому вектору Киллинга, т. е.
и = ?/|Ц.
(В компонентах такая запись означает, что только там и' = О, где I = d/dt.) Из задачи 10.14 нам известно, что
vuU=|vin|M|.
Мы знаем также, что dp/dt = 0, т. е. Vup~V|p = 0, и, следовательно,
Vp = -(p + p)Vln|M|V..
Но
1-І = (Pldt) -(0/0/) = ^00.
так что
II-IIv' =(-Ы'\
откуда и следует требуемый результат, ГЛАВА 10
357
В НЬЮТОНОВСКОМ пределе р-^р и +2Ф), причем
ньютоновский потенциал Ф ^ 1. Следовательно,
др д 1 і л і о/тч\ дФ
Решение 14.5. Подставляя р = V3P в уравнение гидростатического равновесия (см. задачу 14.4)
Р.Ь = (Р + Р)Пп(-?оо)'/г].Л.
получаем
Интегрирование дает
р = const-(-goo) 2.
Поскольку gw остается конечным, р не может обратиться в нуль, и, следовательно, свободной поверхности не существует.
Решение 14.6. Статическому однородному гравитационному полю соответствует линейный элемент
ds2 = gudt2 + gZidz2 + dx2 + dy2, (1)
где величины gtt и gzz зависят только от г. Не обращающиеся в нуль символы Кристоффеля легко вычисляются (см. задачу 7.6). Вес, измеряемый с помощью весов при г = 0, есть W (0), где
