Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ре постоянны, записать в виде и + с.
Простые волны отличаются от плоских бегущих волн линейной теории только
тем, что, во-первых, теперь проводимость на единицу поперечного сечения
(рс)-1 является, как показывает (168), дифференциальной проводимостью,
зависящей от избыточного давления ре и представляющей собой увеличение
скорости жидкости и на единицу увеличения ре, и, во-вторых, различные
избыточные давления распространяются с различными волновыми скоростями с,
свойственными каждому из них, относительно собственной скорости жидкости,
так что абсолютная скорость их распространения равна и + с.
Простые волны возникают не только как конечные результаты эволюции
решений довольно общей задачи с начальными данными, как в разд. 2.8; они
появляются также в граничных задачах определенного типа. В частности,
если первоначально невозмущенную жидкость, заполняющую однородную трубу
или канал, начинают возбуждать с одного конца, то возникающее возмущение
жидкости сразу принимает форму простой волны (в этом случае только
одной). На рис. 28 это показано для трех типов возбуждения: в каждом
случае, если х возрастает вдоль трубы при удалении от места возбуждения,
то вся труба наполнена кривыми С_, берущими начало в невозмущенной
жидкости, так что постоянное значение, которое и - Р имеет вдоль каждой
С_, должно быть нулем, как в простой волне.
Возбуждение давлением показано на рис. 28, а: волна возбуждается
изменениями давления, происходящими на открытом конце, причем характерные
частоты этих изменений таковы, что поперечные сечения трубы или канала
являются при них
182
2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. ЛЬ. три способа возбуждения простых волн: а - изменениями давления,
происходящими у конца, открытого в большой резервуар; б - объемным
расходом из компактной полости; в - смещением поршня.
компактными. Такие изменения давления (они могут быть вызваны, например,
распространением длинной волны в большом внешнем резервуаре) будут
приближенно, но, как мы увидим, не точно непрерывными при проходе через
сочленение с примыкающим каналом, компактность которого, с другой
стороны, предотвращает сколько-нибудь значительные реакции движений в
резервуаре на объемный расход через отверстие (сравни конфигурацию на
рис. 20, 6, изученную на основе линейной теории в конце разд. 2.3).
Возбуждение за счет объемного расхода показано на рис. 28,6; конец!
открыт в этом случае в полость, которая сама является компактной;
изменение объема полости возбуждает волну тем, что вызывает определенный
объемный расход через конец трубы. Это возбуждение напоминает выброс
крови в аорту при сокращении сердца, но в весьма упрощенном виде, потому
что на рис. 28,6 труба предполагается однородной, а жидкость
первоначально невозмущенной.
Возбуждение смещением показано на рис. 28,е; простая волна в этом случае
возбуждается смещением закрытого конца, который можно рассматривать как
поршень, перемещения которого в трубе (подобно движению мембраны
громкоговори-
2.9. Простые волны
183
теля) приводят в движение первоначально невозмущенную жидкость. Этот
рисунок иллюстрирует задачу с граничными условиями, определенными на
подвижной границе, т. е. на поверхности поршня.
Для каждого из этих способов возбуждения возникающая простая волна
полностью определяется через изменения избыточного давления или объемного
расхода либо на открытом конце при х = 0, либо через смещение х = Н (t)
поршня. Например, если избыточное давление рв изменяется как pe(t) при х
= 0, то соответствующие изменения с = с (t) и и - и (t) могут быть
выведены соответственно из (156) и (168), так что прямые С+, исходящие из
х = 0 в момент времени t = т, полностью определяются уравнениями
Ре=Ре(т). и = и(т), С = С (т), X = [U (t)J+
Заметим, что скорость последовательных сигналов и (т) + с (т)
увеличивается с ростом т в волне сжатия (когда избыточное давление ре
(т), переносимое последовательными сигналами, растет), а это приводит к
загадке (ответ на которую мы откладываем): что произойдет, когда
более поздние сигналы
перегонят более ранние сигналы?
Возбуждение давлением на компактном конце, открытом в резервуар,
предполагает непрерывность не самого избыточного давления (как было
показано на основе линеаризованного уравнения количества движения (40) и
вытекающего из него соотношения (41)), а более сложной величины
Это выражение выводится из нелинейного уравнения количества движения для
безвихревого течения с постоянной энтропией, которое, как показано в
учебниках по гидродинамике, означает, что градиент выражения (170) равен
-duldt. Из этого следует, что изменение величины (170) при переходе через
компактное сочленение пренебрежимо мало; движение в резервуаре с заданным
значением (170) в каждый момент времени t определяет давление р (t) на
конце трубы так, чтобы соответствующее значение выражения (170) (где |u|2
= [n(?)]2 связано с ре (t) в соответствии с (168)) было одним и тем же.
